PROBLEMS 20.0805 All-round check (7-7)

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MathCounts 문제

1. 서로 다른 세 수 a, b, c 가 a² = bc, b² = ca, c² = ab 를 만족할 때, 다음 중 옳은 것은?
   
   

   ㄱ.   ㄴ. a2+b2+c2 = 0  ㄷ. a3 = b3 = c3

   
   

   ① ㄱ

   ② ㄱ, ㄴ

   ③ ㄴ, ㄷ

   ④ ㄱ, ㄷ

   ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(답) ⑤

1) a²=bc ⇔ a : b = c : a ⇔ a/b = c/a 이므로 a/b = b/c = c/a 가 됩니다.^^
2) a² = bc, b² = ca 에서 c 를 소거 → a²/b = b²/a → a³=b³ 마찬가지로 b³=c³ 이 됩니다.^^
3) a³-b³=0 ⇔ (a-b)(a²+ab+b²)=0 에서 a≠b 이므로 a²+ab+b²=0 → a²+b²+c²=0 ^^




2. 꼭지점이 (0,0), (7,0), (0,5) 인 삼각형의 내부의 점으로 x, y 좌표가 정수인 점의 개수는?
   
   

   ① 8 개	② 9 개	③ 10 개
   ④ 11 개	⑤ 12 개

(답) ⑤

1) 삼각형의 내부 → x>0, y>0, 5x+7y<35
2) y=1 일 때, 5x<28 → x=1,2,3,4,5
3) y=2 일 때, 5x<21 → x=1,2,3,4
4) y=3 일 때, 5x<14 → x=1,2
5) y=4 일 때, 5x<7 → x=1

☞ 그림에서 (4×6)÷2 = 12 개 ^^




3. 실수 x, y 가 xy-x+y = 2 를 만족한다. x>0 일 때, y 의 범위는?
   
   

   ① y>1

   ② y<2

   ③ 0<y<1

   ④ 1<y<2

   ⑤ 2<y<3

(답) ④

1) x(y-1)=2-y
2) x>0 이므로 y-1, 2-y 는 같은 부호 → (y-1)(2-y)>0 ⇔ (y-1)(y-2)<0    ∴ 1<y<2 ^^

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4. 그림은 반지름이 2 이고 중심의 좌표가 (1,1) 인 원이다. 어두운 부분의 넓이는?
   
   

   ① π-0.5	② π+0.5	③ π-1
   ④ π+1	⑤ π-1.5

(답) ③

1) 그림에서 a=1+b, a+c=π (사분원)
2) 어두운 부분 = b+c
3) b=a-1, c=π-a 이므로 b+c = π-1^^




5. 오른쪽 그림을 이용하여 cos36°-cos72° 를 구하면?
   
    ① 0.35
    ② 0.40
    ③ 0.45
    ④ 0.50
    ⑤ 0.60
   

(답) ④
그림에서 cos36°=, cos72°= ^^

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