PROBLEMS 20.0804 All-round check (7-6)

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MathCounts 문제

1. f(x²+1) = x⁴+4x²+1 일 때, f(x²-1)-x⁴ 은?
   
   

   ① -1

   ② 2

   ③ -3

   ④ 4

   ⑤ -5

(답) ③

1) f(x²+1) = x²+4x²+1→ f(x²+1) = (x²+1)²+2(x²+1)-2 이므로 f(x) = x²+2x-2
2) f(x) = (x+1)²-3 에서 f(x²-1)=(x²)²-3    ∴ f(x²-1) = x⁴-3 ^^




2. 다음 두 조건을 만족하는 집합 A 의 원소의 개수의 최대값은?
   
   

   i) A⊂{1, 2, 3, 4, 5, …, 49, 50} ii) A 의 어떤 두 원소의 합도 5 로 나누어 지지 않는다.

   
   

   ① 19

   ② 21

   ③ 23

   ④ 25

   ⑤ 27

(답) ⑤

1) A 의 원소를 5k+r (r=0, 1, 2, 3, 4) 의 꼴로 생각합니다.^^
2) 5k+1, 5k+2 꼴의 두 수의 합 → 5 로 나누어지지 않음
    5k+1, 5k+3 꼴, 5k+2, 5k+4 꼴 및 5k+3, 5k+4 꼴의 두수의 합 → 5 로 나누어지지 않음.
3) 5k+r (r=1,2,3,4) 꼴의 수는 각각 10 개씩 존재하므로 …

∴ 10+10+1 = 21 ← 5 의 배수 한 개를 추가합니다.^^

☞ 5k+1, 5k+3 꼴의 수로 만들어보면 → {1, 3, 6, 8, …, 43, 46, 48, 50}




3. 직선 x=a 이 A(1,1), B(-1,-1), C(5,1) 을 꼭지점으로 하는 삼각형의 넓이를 이등분할 때, (a-5)² 은?
   
   

   ① -11	② 12	③ -13
   ④ 14	⑤ -15

(답) ②


1) △ABC의 넓이 = 4,  BC의 기울기 = 1/3
3) 어두운 삼각형의 높이 = (5-a)×1/3, 어두운 삼각형의 넓이 = (5-a)²×1/6 =2 ^^




4. 다음 식 중에서 같은 그래프를 나타내는 방정식은?
   
   

   ㄱ. y=x+1   ㄴ. y=   ㄷ. (x-1)y=x2-1

   
   

   ① ㄱ, ㄴ

   ② ㄴ, ㄷ

   ③ ㄱ, ㄷ

   ④ ㄱ, ㄴ, ㄷ

   ⑤ 없다.

(답) ⑤

ㄴ→ x≠1 일 때만 y 가 존재
ㄷ→ (x-1)y-(x²-1)=0 ⇔ (x-1)(y-x-1)=0 ⇔ x=1 또는 y=x+1





5. 반지름이 r 인 원의 두 현 AB, CD 의 연장선이 점 P 에서 만난다. AB=10, CD=7, PA=8, ∠BPD=60° 일 때, r² 은? [AHSME]
   
   

   ① 70	② 71	③ 72
   ④ 73	⑤ 74

(답) ④

1) PA^.PB = PC^.PD → 8^.18 = PC^.(PC+7)
2) PC=x 라고 놓으면 x²+7x-144=0
3) (x-9)(x+16)=0 에서 PC=9
4) ∠BPD=60° 이고 PB : PC = 2 : 1 → ∠BCP=90°

(2r)²=7²+(9)² → 4r² = 49+243 = 292    ∴ r²=73 ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

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