PROBLEMS 20.0802 All-round check (7-5)

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MathCounts 문제

1. x, y 가 실수일 때, 조건 p : xy+1>x+y>2, q : x>1 이고 y>1 가 있다. 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?
   
   

   ㄱ. p 는 q 이기 위한 필요조건 이다. ㄴ. p 는 q 이기 위한 충분조건 이다. ㄷ. p 와 q 는 동치이다.

   
   

   ① ㄱ

   ② ㄴ

   ③ ㄷ

   ④ ㄱ,ㄴ,ㄷ

   ⑤ 없다.

(답) ④

1) xy+1>x+y>2 ⇔ xy-x-y+1>0, x+y-2>0 ⇔ (x-1)(y-1)>0, (x-1)+(y-1)>0
2) (x-1)(y-1)>0, (x-1)+(y-1)>0 ⇔ x-1>0, y-1>0 ⇔ x>1 이고 y>1

∴ xy+1>x+y>2 ⇔ x>1 이고 y>1 이므로 p ⇔ q (동치) ← p, q 는 서로 필요충분조건 ^^

☞ a, b 가 실수일 때, a+b>0, ab>0 ⇔ a>0, b>0




2. 를 간단히 하면?
   
   

   ① 1

   ②

   ③

   ④

   ⑤

(답) ①

1) x =라고 놓고 양변을 세제곱 합니다.^^
2) x³ =
3) x³ = 4 +3^.x
4) x³ = 4-3x ⇔ x³+3x-4=0 ⇔ (x-1)(x²+x+4)=0  에서 x 는 실수 이므로 x=1 ^^




3. f(x)=x²+1 (x≥1) 의 역함수를 g(x) 라고 하면 g(x) 의 정의역은 {x| x≥a} 이다.
   이 때, g(a+99)를 구하면?
   
   

   ① 6

   ② 7

   ③ 8

   ④ 9

   ⑤ 10

(답) ⑤

1) f(x)=x²+1 (x≥1) 의 치역 → {y| y≥2}
2) f(x) 의 치역 ⇔ g(x) 의 정의역    ∴ a=2
3) g(a+99)=b 라고 놓으면 → g(101)=b ⇔ f(b)=101 ⇔ b²+1=101 → b≥1 이므로 b=10 ^^




4. x²ⁿ+1+(x+1)²ⁿ 이 x²+x+1 로 나누어지도록 하는 자연수 n 이 아닌 것은? [AHSME]
   
   

   ① 17

   ② 20

   ③ 21

   ④ 64

   ⑤ 65

(답) ③

1) x²ⁿ+1+(x+1)²ⁿ = (x²+x+1)Q(x) …㉠
2) x²+x+1=0 의 한 근을 ω 라고 하면 → ω²+ω+1=0 이고 ω³=1   ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
3) x=ω 를 ㉠ 에 대입 → ω²ⁿ+1+(ω+1)²ⁿ = 0
4) ω²ⁿ+1+(ω+1)²ⁿ = 0 ⇔ ω²ⁿ+1+(-ω²)²ⁿ = 0 ⇔ ω⁴ⁿ+ω²ⁿ+1=0 ⇔ ω²ⁿ+ωⁿ+1=0
5) n=3k+r (r=0,1,2) 라고 놓으면 → ω^6k+2r+ω^3k+r+1=0 →  ω^2r+ω^r+1=0
6) ω^2r+ω^r+1=0 이 성립하는 경우 → r=1, 2 일 때    ∴ n=3k 일 때 나누어지지 않음.^^




5. 그림에서 A, B, C, D는 일직선 위의 점이고 AB=BC=CD=2 이다. PA=QD=2, BQ=4, CP=CQ 일 때, PB 의 길이는?
   
   

   ① 0.5

   ② 0.8

   ③ 1

   ④ 1.2

   ⑤ 1.5

(답) ③

1) 어두운 두 삼각형은 세 변의 길이가 같으므로 → △APC≡△BCQ
2) BQ의 중점을 M 이라고 하면 PB=MC
3) MC=QD×1/2 = 1 ← 중점 연결 정리 ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

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