PROBLEMS 20.0801 All-round check (7-3)

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MathCounts 문제

1. 세 수 a, b, c 가 있다. 여기서 한 개의 수를 제외하고 두 수를 더하여 얻은 결과는 19 와 20 두 개 뿐이다. 이 때, a+b+c 를 구하면?
   
   

   ① 29

   ② 30

   ③ 31

   ④ 32

   ⑤ 33

(답) ①

1) a≤b≤c 라고 가정하면 a+b, b+c, c+a 중에서 최대인 것은 b+c
2) a+b=19, b+c=20, c+a=19
3) 위의 세 식을 모두 더하면 2(a+b+c)=58    ∴ a+b+c=29 




2. 그림은 가로와 세로의 길이가 각각 a, b 인 직사각형의 내부에 반지름이 b 인 4분원을 2 개 그려 넣은 것이다. 어두운 두 부분의 넓이가 같을 때, a : b 에 가장 가까운 것은?
   
   

   ① 2 : 1

   ② 3 : 2

   ③ 4 : 3

   ④ 5 : 4

   ⑤ 6 : 5

(답) ②

1) 직사각형의 넓이 = 두 개의 사분원의 넓이의 합
2) ab = (πb²/4)×2 ⇔ 2ab=πb² ⇔ 2a=πb    ∴ a : b = π : 2 ^^




3. 다음은 |x|<1, |y|<1, |z|<1 일 때 x+y+z-xyz 의 범위를 구하는 과정이다.
   
   

   f(x) = (1-yz)x+y+z 라고 놓으면, |y|<1, |z|<1 에서 1-yz > (가) 이므로 f(x)는 (나)함수 이다. 따라서 f(-1) < f(x) < f(1) 이다. 그런데 f(-1) = -1+yz+y+z = (y+1)(z+1)-2 이고 f(1) = 1-yz+y+z = 2-(1-y)(1-z) 이므로 (다) < f(x) < (라) 이다. ∴ |x|<1, |y|<1, |z|<1 일 때 (다) < x+y+z-xyz < (라) 이다.

   
   다음 중 (가), (나), (다), (라) 에 알맞은 것을 차례로 바르게 적은 것은?
   
   

   ① 0, 감소, -2, 1	② 0, 증가, -2, 2	③ 1, 감소, -1, 2
   ④ 1, 증가, -2, 1	⑤ 0, 증가, -1, 2

(답) ②

1) -1<y<1, -1<z<1 → -1<yz<1 → 1-yz>0
2) f(x) 의 기울기가 양수 이므로 f(x)는 증가하는 1차함수 입니다.^^
3) (y+1)(z+1)>0, (1-y)(1-z)>0 이므로 f(-1)>-2 이고 f(1)<2     ☞ 관련사항을 참조하세요^^




4. 함수 y=f(x) 의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식 (fofof)(x)=4 의 모든 근 중에서 최대인 것과 최소인 것의 차는?
   
   

   ① 1

   ② 1.5

   ③ 2

   ④ 2.5

   ⑤ 3

(답) ⑤

1) f(fof))(x) = 4 에서 (fof)(x) = 2
2) (fof)(x) = 2 에서 f(x) = 1 또는 f(x)= 3
3) f(x) = 1 일 때의 두 근이 각각 최대, 최소인 근
4) f(x) = 1 만족하는 x 는 각각 1/2 와 7/2

∴ 최대근과 최소근의 차 = 7/2 - 1/2 = 3 ^^




5. 직각이등변 삼각형에 정사각형을 내접 시키는 방법은 두 가지가 있다. (그림1)처럼 내접시킨 정사각형의 넓이가 441 일 때, (그림2)처럼 내접시킨 정사각형의 넓이는? [AHSME]
   
   ① 378
   ② 392
   ③ 400
   ④ 441
   ⑤ 484

(답) ②

1) 직각삼각형의 넓이 = 441×2 = 882
2) 882 × 4/9 = 392 ^^

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