PROBLEMS 20.0731 All-round check (7-2)

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MathCounts 문제

1. 집합 A, B, C 사이에 A-(B-C)=(A-B)-C 가 성립할 필요충분 조건은?
   
   

   ① A=φ

   ② A∩B=φ

   ③ B∩C=φ

   ④ C∩A=φ

   ⑤ A∩B∩C=φ

(답) ④ → 그림에서 두 집합이 같아지려면 C∩A=φ 이 되어야 합니다.^^

 




2. 정육면체의 각 면에 1, 2, 3, 4, 5, 6 를 하나 씩 기입한다. 마주보는 두 면에 적힌 숫자의 합을 각각 a, b, c 라고 할 때, a+2b+3c 의 최소값은?
   
   

   ① 33

   ② 34

   ③ 35

   ④ 36

   ⑤ 37

(답) ②

1) a+b+c=21 ← 모든 수의 합 입니다.
2) a+2b+3c = (21-b-c)+2b+3c = 21+b+2c → b+2c 가 최소가 되어야 합니다.
3) c=1+2=3, b=3+4=7 일 때, b+2c 의 최소값은 7+6 = 13 이므로 21+13 = 34 ^^




3. x 의 방정식 x³+x+a=0 과 x³+ax+1=0 이 한 근 b 만을 공유한다. 이 때 a+b 는?
   
   

   ① -1

   ② 2

   ③ -3

   ④ 4

   ⑤ -5

(답) ①

1) b³+b+a=0 …㉠, b³+ab+1=0 …㉡ ← 방정식의 근 x=b 를 대입^^
2) ㉠-㉡ → (b-ab)+a-1=0 ⇔ b(1-a)+(a-1)=0 ⇔ (b-1)(1-a)=0
3) a≠1 이므로 b=1 ← a=1 이면 두 방정식이 같게 되어 세 근을 공유합니다.
4) b=1을 ㉠ 에 대입하면 a=-2     ∴ a+b=-1 ^^




4. A(-1,1) 와 포물선 y=x² 위의 점 B 를 꼭지점으로 하는 ∠A=90° 인 직각삼각형 OAB 의 넓이는?
   
   

   ① 2.5

   ② 3

   ③ 3.5

   ④ 4

   ⑤ 4.5

(답) ②

1) AB의 방정식은 y=-x+2 ← OA의 기울기=1
2) x²=-x+2 ⇔ x²+x-2=0 ⇔ (x+2)(x-1)=0 → B(-2,4)
3) A(1,1), B(-2,4) 이므로 OAB의 넓이=|4-(-2)|=3 ^^
☞ A(x₁,y₁), B(x₂,y₂) 일 때 △OAB 의 넓이=|x₁y₂-x₂y₁|





5. x 절편이 소수이고, y 절편이 양의 정수인 직선이 점 (4,3) 을 지난다. 이러한 직선은 몇 개 존재하는가? [AHSME]
   
   

   ① 1 개

   ② 2 개

   ③ 3 개

   ④ 4 개

   ⑤ 없다.

(답) ②

1) x 절편을 m, y절편을 n 이라고 놓으면 직선의 방정식은 → 관련사항 참조^^
2) 이 점 (4,3) 을 지나므로 ⇔ 4n+3m=mn
3) mn-3m-4n=0 ⇔ (m-4)(n-3)=12 에서 m-4 는 12 의 약수 → m-4=1, 2, 3, 4, 6, 12
4) m=5, 6, 7, 8, 10, 16 에서 소수인 m = 5, 7 ^^

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