PROBLEMS 20.0730 All-round check (7-1)

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MathCounts 문제

1. 세 자연수 a, b, c 가 연속한 완전제곱수일 때, a 와 c 의 산술평균은 ?
   
   

   ① b

   ② b+1

   ③ b+2

   ④ 2b

   ⑤ 2b+1

(답) ②

1) a=(n-1)², b=n², c=(n+1)² 이라고 놓으면 ← n=1,2,3, … 입니다.
2) a+c=(n-1)²+(n+1)²=2(n²+1)=2(b+1)    ∴ (a+c) / 2 = b+1 ^^




2. 두 직선 y=ax+b, y=bx+a 에 대한 설명 중 옳지 않은 것은?
   
   ① 두 직선은 적어도 한 점에서 반드시 만난다.
   ② a≠b 이면 두 직선의 교점의 x 좌표는 1 이다.
   ③ ab=-1 이면 두 직선은 직교한다.
   ④ ab=0 이면 두 직선은 y 좌표가 a 또는 b 인 점을 공유한다.
   ⑤ ab≠0 이면 두 직선은 한 점에서 만난다.

(답) ⑤

1) ax+b=bx+a ⇔ (a-b)x=a-b
2) a≠b 이면 x=1, a=b 이면 두 직선은 일치, ab=-1 이면 두 직선은 직교

⑤ → a=1, b=1 이면 두 직선이 일치하므로 거짓^^




3. 평행이동 f : (x,y) → (x+a, y-a) 에 의하여 직선 y=2x+3 을 이동하였더니 y=bx-6 이 되었다. a+b 는?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ⑤

1) 점 (x+a, y-a) 는 y=bx-6 위의 점이므로 대입하면 y-a=b(x+a)-6
2) y-a=b(x+a)-6 ⇔ y=bx+(ab+a-6) ⇔ y=2x+3 ← (x,y)는 원래 도형 y=2x+3 위의 점

∴ b=2, ab+a-6=3 → a=3, b=2 ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




4. AB=5, BC=4, CA=3 인 △ABC 가 있다. 꼭지점 C 를 지나고 AB 에 접하는 가장 크기가 작은 원 O 가 BC, CA 와 만난 점을 P, Q 라 할 때, PQ 의 길이는?
   
   

   ① 2.1

   ② 2.2

   ③ 2.3

   ④ 2.4

   ⑤ 2.5

(답) ④

1) 5²=4²+3² 이므로 ABC 는 직각삼각형
2) PQ는 원의 지름 ← ∠C=90°
3) C 에서 AB 에 그은 수선 CH 를 지름으로 하는 원이 최소
4) AB×CH=BC×AC ⇔ 5×CH=4×3 에서 CH=2.4 ^^




5. cot10° + tan5° 와 같은 것은? [AHSME]
   
   

   ① cosec5°

   ② cosec10°

   ③ sec5°

   ④ sec10°

   ⑤ sin15°

(답) ②

1) 그림에서 cot10°=a, tan5°==-a
2) cot10° + tan5° = a + (-a) =
3) sin10°= 이므로 cosec10°=^^

☞ 자연계 학생들은 덧셈정리(수학2)를 써서 답을 내기도 합니다.^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

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