PROBLEMS 20.0729 All-round check (6-7)

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MathCounts 문제

1. A 는 5 일 일하고 1 일 쉰다. B 는 9 일 일하고 2 일 쉰다. 두 사람이 오늘부터 함께 일을 시작한다면 두 사람이 처음으로 동시에 쉬는 날은 며칠 후인가?
   
   

   ① 48

   ② 54

   ③ 60

   ④ 66

   ⑤ 72

(답) ②

1) A 가 쉬는 날 → 6m (m은 정수) …㉠
2) B 가 쉬는 날 → 11n, 11n-1 (n은 정수) …㉡
3) A, B 가 동시에 쉬는 날 →  ㉠, ㉡ 을 동시에 만족하는 최소인 양의 정수를 찾으면 됩니다.^^

㉡ 에서 n=6k+r (r=0,1,2,3,4,5) 라고 하면
11n=11(6k+r)=66k+11r → 6m 꼴의 수가 되려면 r=0 → 66k
11n-1=11(6k+r)-1=66k+11r-1 → 6m 꼴의 수가 되려면 r=5 → 66k+54 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요!




2. 직선 x+ky=5 와 원 x²+y²=9 가 서로 다른 두 점 A, B 에서 만난다. 현 AB의 길이가 4 일 때, k² 은?
   
   

   ① 3

   ② 4

   ③ 5

   ④ 6

   ⑤ 8

(답) ②

1) 그림에서 d²=5
2) d=← (0,0) 과 x+ky-5=0 사이의 거리
3) d²=5 ⇔ =5 에서 k²=4 ^^




3. 이차함수 f(x) 와 일차함수 g(x) 의 그래프가 그림과 같이 두 점에서 만나고 있다. 2f(x)-3g(x)의 그래프와 α, β 의 위치관계로 적당한 것은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ⑤

1) f(α)=g(α), f(β)=g(β) 에서 f(α)-g(α)=0, f(β)-g(β)=0
2) 2f(α)-3g(α)=2{f(α)-g(α)}-g(α)=0-g(α)<0 ← 그림에서 g(α)>0
3) 마찬가지로 2f(β)-3g(β)<0 ^^





4. 양수 p, q 에 대하여 log₂p=log₃q=log₆(p+q) 가 성립할 때, 는?
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ 5

   ⑤ 8

(답) ①

1) log₂p=log₃q=log₆(p+q)=k 라고 놓으면 2^k=p, 3^k=q, 6^k=p+q
2) 2^k×3^k=pq ⇔ 6^k=pq 에서 pq=p+q → 양변을 pq 로 나누면 =1 ^^




5. [x]는 x 를 넘지 않는 최대 정수이다. 4x²-40[x]+51=0 을 만족하는 실수 x 의 개수는? [AHSME]
   
   

   ① 0

   ② 1

   ③ 2

   ④ 3

   ⑤ 4

(답) ⑤

1) x-1<[x]≤x 이고 x>1 (∵ 4x²=40[x]-51≥0 → [x]≥51/40)
2) 4x²-40(x-1)+51>0 ⇔ 4x²-40x+91>0 ⇔ (2x-7)(2x-13)>0 ⇔ x< 7/2 또는 x>13/2 …㉠
3) 4x²-40x+51≤0 ⇔ (2x-3)(2x-17)≤0 ⇔ 3/2≤x≤17/2 …㉡
4) ㉠, ㉡ 에서 3/2≤x<7/2 또는 13/2<x≤17/2 …㉢
5) 4x²=40[x]-51 에서 4x² 은 정수 → ㉢ 에서 9≤4x²<49, 169<4x²≤289
6) 4x²+51=40[x] 에서 4x²+51은 40의 배수 → 60≤4x2+51<100, 220<4x²+51≤340

∴ 4x²+51=80, 240, 280, 320 → 4x²=29, 189, 229, 269 를 만족하는 양수 x 는 4 개 존재^^

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