PROBLEMS 20.0728 All-round check (6-6)

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MathCounts 문제

1. 2 대의 기계가 4 시간 동안 16 개의 제품을 생산한다. 15 대의 기계가 120 개의 제품을 생산하는데 필요한 시간은?
   
   

   ① 3 시간

   ② 3.5 시간

   ③ 4 시간

   ④ 4.5 시간

   ⑤ 5 시간

(답) ③

1) (16 개÷2대)÷4시간 = 2 개/(대^.시간) → 기계 1대가 1시간 동안에 생산하는 제품은 2 개^^
2) 15 대가 1시간 동안에 생산하는 제품은 30 개 ← 2 (개/대^.시간)×15 대 = 30 개/시간
3) 120 개 ÷ 30 (개/시간) = 4 시간 ^^




2. ax²+bxy+cy²=0 이 직교하는 두 직선을 나타내고 이 중의 한 직선이 (2,-1) 을 지날 때,
   (a+b) : (b+c) 는?
   
   

   ① 5 : 1

   ② 4 : 1

   ③ 3 : 1

   ④ 3  : 2

   ⑤ 2 : 1

(답) ①

1) ax²+bxy+cy²=0 ⇔ a(x+my)(x+ny)=0 꼴이 될 때 두 직선 → 원점을 지나는 직선입니다.^^
2) (2,-1)을 지나는 직선은 x+2y=0 → 이것과 직교하는 직선은 2x-y=0
3) (x+2y)(2x-y)=0 ⇔ 2x²+3xy-2y²=0 ⇔ ax²+bxy+cy²=0 → a : b : c = 2 : 3 : (-2)

∴ (a+b) : (b+c) = (2+3) : (3-2) = 5 : 1 ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




3. 포물선 y=x²+ax+b 와 직선 y=x+c 가 그림과 같이 두 점 P, Q 에서 만나고 있다. 점 Q 의 좌표는?
   
   

   ① (a,-b)

   ② (-a,b)

   ③ (b,a)

   ④ (-b,a)

   ⑤ (b,-a)

(답) ②

1) x=1 이 방정식 x²+ax+b=x+c 의 한 근 → 1+a+b=1+c ⇔ c=a+b
2) x²+ax+b=x+(a+b) ⇔ x²+(a-1)x-a=0 ⇔ (x+a)(x-1)=0
3) Q 의 x 좌표는 x=-a 이고 y 좌표는 y=-a+c    ∴ Q(-a, b) ← c=a+b




4. 세 변의 길이가 연속한 정수인 삼각형이 있다. 최대 변의 대각이 최소 변의 대각의 2 배일 때, 삼각형의 세 변의 길의 합은?
   
   

   ① 11

   ② 12

   ③ 13

   ④ 14

   ⑤ 15

(답) ⑤

세 변의 길이를 n, n+1, n+2, ∠A 의 이등분선을 AD, AD=BD=a, DC=b 라고 놓으면 a+b=n+2

1) △ABC∽△DAC →
2) a=, b= 이고 a+b=n+2 이므로
   +=n+2 ⇔ n(n+1)+n² = (n+2)² 에서 n²-3n-4=0 ⇔ (n-4)(n+1)=0    ∴ n=4 ^^




5. x⁴+6x³+11x²+3x+31 이 완전제곱수가 되도록 하는 정수 x 의 개수는? [AHSME]
   
   

   ① 4 개

   ② 3 개

   ③ 2 개

   ④ 1 개

   ⑤ 0 개

(답) ④

1) x⁴+6x³+11x²+3x+31 = x²(x²+6x+9)+2x²+3x+31 = x²(x+3)²+ 2x(x+3)+1-3x+30
2) -3x+30=0 일 때, x²(x+3)²+ 2x(x+3)+1 = {x(x+3)+1}²    ∴ x=10

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