PROBLEMS 20.0726 All-round check (6-4)

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MathCounts 문제

1. a+b=2, c+d=3 이고 x=ac+bd, y=bc+ad 일 때,  x+y 는?
   
   

   ① 5

   ② 6

   ③ 7

   ④ 8

   ⑤ 9

(답) ② → x+y=(ac+bd)+(bc+ad)=(a+b)(c+d)=6 ^^




2. 방정식 x²-2x+2=0 의 한 근 α 에 대하여 z=라고 한다. 은?
   
   

   ① -1

   ② 2

   ③ -3

   ④ 4

   ⑤ -5

(답) ④

1) z+1=+1= 이므로
2) ==4




3. 2≤x≤3 일 때, 함수 f(x)=(log₂x)(log₃x) 의 최대값을 M, 최소값을 m 이라 할 때, M×m 은?
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ log32

   ④ log23

   ⑤ log106

(답) ①

1) f(x)=에서 log2>0, log3>0 이고
2) 2≤x≤3 일 때 (logx)² 은 증가함수 → 최소값은 f(2)=log₃2, 최대값은 f(3)=log₂3
3) M×m=(log₃2)(log₂3)=1 ^^ ← (log_ab)(log_ba)=1




4. p 가 소수일 때, x²+px-444p=0 의 두 근이 모두 정수이다. 소수 p가 속한 범위는? [AHSME]
   
   

   ① 1<p<11	② 11<p<21	③ 21<p<31
   ④ 31<p<41	⑤ 41<p<51

(답) ④

1) x²=p(444-x) 에서 x² 이 소수 p의 배수 이므로 x 도 p의 배수
2) x=pk 라고 놓으면 p²k²=p(444-pk) ⇔ pk²=444-pk ⇔ pk(k+1)=444
3) pk(k+1)=2²×3×37 에서 p=37 ^^




5. 그림에서 AB는 원의 지름이고 AB//CD 이다. ∠AED=α 라 할 때, △ABE와 △CDE의 넓이의 비는? [AHSME]
   
   

   ① 1 : cosα	② 1 : sinα	③ 1 : cos2α
   ④ 1 : sin2α	⑤ 1 : (1-sinα)

(답) ③

1) AB//CD 이므로 △ABE∽△CDE ← 이등변 삼각형^^
2) AB 가 지름이므로 ∠ADB=90°
3) DE=AE×cosα ⇔ AE : DE = 1 : cosα
4) 면적비=닮음비² → 면적비=1 : cos²α ^^

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