PROBLEMS 20.0725 All-round check (6-3)

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MathCounts 문제

1. 집합 A={n| n=a²-b², a, b는 정수}에 대하여 다음 중 참인 것을 모두 고르면?
   
   

   ㄱ. 2k+1∈A (k는 정수) ㄴ. A 는 덧셈에 대하여 닫혀있다. ㄷ. A 는 곱셈에 대하여 닫혀있다.

   
   

   ① ㄱ

   ② ㄴ

   ③ ㄷ

   ④ ㄱ, ㄷ

   ⑤ ㄴ, ㄷ

(답) ④

ㄱ → 2k+1=(k+1)²-k²∈A ^^
ㄷ → (a²-b²)(c²-d²)=a²c²-a²d²-b²c²+b²d²
                               =(a²c²+2abcd+b²d²)-(a²d²+2abcd+b²c²)
                               =(ac+bd)²-(ad+bc)²∈A
ㄴ 은 거짓 → (1²-0²)+(1²-0²) = 1+1=2A




2. 일 때, x 의 값은? [AHSME]
   
   

   ① 1

   ② 40.4

   ③ 2

   ④ 40.6

   ⑤ 4

(답) ②

1) 4^0.4×4^0.6 = 4^0.4+0.6 = 4¹ = 4
2) ^^




3. 반지름이 인 원 위에 임의로 두 점 P, Q 를 잡는다. 원의 중심 O 에서 현 PQ 에 내린 수선의 발을 H 라 할 때, OH+PQ 의 최대값은?
   
   

   ① 4

   ② 2

   ③ 5

   ④ 3

   ⑤ 6

(답) ③

1) OH=a, PQ=2b 라고 놓으면 a²+b²=5 이고 OH+PQ=a+2b
2) (1²+2²)(a²+b²)≥(1^.a+2^.b)² ← 코시(Cauchy)의 부등식
3) (a+2b)²≤25 에서 a+2b의 최대값은 5 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요!




4. 모든 x 에 대하여 f(x+1)=-f(x) 이고, f(x)=x² (-1≤x<0) 인 함수 f(x) 가 있다. 방정식 2f(x)=x 의 실근의 개수는?
   
   

   ① 1 개

   ② 2 개

   ③ 3 개

   ④ 5 개

   ⑤ 7 개

(답) ②

1) f(x+1)=-x² (-1≤x<0) ⇔ f(x)=-(x-1)² (0≤x<1) → 관련사항을 참조하세요^^
2) f(x+2)=-f(x+1)=-{-f(x)}=f(x) → f(x+2)=f(x) → f 는 주기 2 인 주기함수
3) 2f(x)=x ⇔ f(x)=x → 방정식의 실근은 y=f(x) 와 y=x 의 교점의 x 좌표^^





5. 그림은 삼각형 ABC 의 내부의 한 점을 지나고 세 변에 평행인 선분이 삼각형을 여섯 개의 부분으로 나눈 것을 나타낸다. 어두운 부분의 넓이가 각각 1, 4, 9 일 때, △ABC 의 넓이는?
   
   

   ① 35

   ② 36

   ③ 38

   ④ 45

   ⑤ 60

(답) ②

1) 어두운 삼각형의 면적비 = 1 : 4 : 9 → 닮음비 = 1 : 2 : 3
2) 네 개의 삼각형의 닮음비 = 1 : 2 : 3 : 6 → 면적비 = 1 : 4 : 9 : 36 ^^

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