PROBLEMS 20.0724 All-round check (6-2)

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MathCounts 문제

1. 복소수 α 의 켤레복소수를 β 라고 한다. α-βi = 3+i 일 때, α+β 는?
   
   

   ① -1

   ② 2

   ③ -3

   ④ 4

   ⑤ -5

(답) ②

1) α=a+bi (a, b는 실수) 라고 하면  β=a-bi
2) α-βi = 3+i ⇔ (a+bi)-(a-bi)i = 3+i ⇔ (a+b)+(b-a)i = 3+i
3) a+b=3, b-a=1 에서 b=2, a=1    ∴ α=1+2i, β=1-2i ^^




2. 계수가 실수인 사차방정식 x⁴+ax³+bx²+cx+d=0 의 두 근을 α, β 라고 한다.  α+β=1+i, αβ=2i 일 때, a+d 는?
   
   

   ①  2

   ② -4

   ③ 6

   ④ -8

   ⑤ 10

(답) ①

1) 계수가 실수이고 α, β 가 허근 이므로 다른 두 근은 ← 켤레 근 정리
2) = (1+i)+(1-i) = 2
3) = (2i)(-2i) = 4
4) 방정식의  네 근의 합 = -a, 네 근의 곱 = d 이므로 -a=2, d=4    ∴ a+d = 2 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^





3. 좌표평면 위에 두 점 P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) 가 있다. x₁+x₂=8, y₁+y₂=6 일 때, OP+OQ 의 최소값은?
   
   

   ① 7

   ② 8

   ③ 9

   ④ 10

   ⑤ 12

(답) ④

1) PQ 의 중점 → M(4,3)
2) 그림에서 OP+OQ=OP+PR≥OR
3) R(8,6) 이므로 OR=10 ^^




4. 이차항의 계수가 양수인 이차함수 f(x) 가 f(2-x)=f(2+x) 를 만족할 때, 다음 중 옳은 것은?
   
   

   ① f(0) < f(1) < f(2)	② f(1) < f(2) < f(0)
   ③ f(2) < f(0) < f(1)	④ f(2) < f(1) < f(0)
   ⑤ f(1) = f(3) < f(2)

(답) ④

1) f(x) 의 대칭축은 x=2
2) 그림에서 f(2) < f(1) < f(0) ^^




5. 자연수 N 의 약수의 개수를 a 개, 2N 의 약수의 개수를 b 개, 4N 의 약수의 개수를 c 개 라고 할 때, a+b+c 와 같은 것은?
   
   

   ① 3a

   ② 3b

   ③ 3c

   ④ 2a+3b

   ⑤ 3a+2b

(답) ②

1) N 의 약수 중 2 를 포함한 것이 x 개, 포함하지 않는 것이 y 개 있다고 하면 → x+y=a …㉠
2) 2N 의 약수 중 2 를 포함하는 것은 x+y 개, 2 를 포함하지 않는 것은 y 개 → x+2y=b …㉡
3) 4N 의 약수 중 3 를 포함하는 것은 x+2y 개, 2 를 포함하지 않는 것은 y개 → x+3y=c …㉢

㉠, ㉡, ㉢ 에서 a+b+c = 3(x+2y) = 3b ^^

☞ N=6 일 때, N의 약수는 4 개, 2N의 약수는 6 개, 4N의 약수는 8 개 ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

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