PROBLEMS 20.0723 All-round check (6-1)

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MathCounts 문제

1. 그림은 조건 p, q, r 의 진리집합 P, Q, R 의 포함관계를 나타낸 것이다. 다음 중 참이 아닌 명제는?
   
   

   ① p→q

   ② q→~r

   ③ r→~p

   ④ ~q→r

   ⑤ ~q→ (r 또는 ~r)

(답) ④ ^^

④ → 'Q 의 원소가 아니면 반드시 R 의 원소이다.' → 거짓입니다. ^^




2. N 은 7 진법으로 나타낸 세자리 정수이다. N 을 9 진법으로 나타내면 각 자리의 숫자가 거꾸로 된다. N 을 10 진법으로 나타낼 때, N 의 각 자리의 숫자의 합은?
   
   

   ① 14

   ② 15

   ③ 16

   ④ 17

   ⑤ 18

(답) ①

1) N=abc₍₇₎ 이라고 하면 N=cba₍₉₎
2) 49a+7b+c = 81c+9b+a ⇔ 48a-2b-80c=0 ⇔ b=24a-40c
3) b=8(3a-5b) 에서 3a-5b=0 ⇔ 3a=5b ← a, b, c = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
4) b=0, a=5, b=3 이므로 N=503₍₇₎ = 5×7²+3 = 248    ∴ 각 자리 수의 합은 2+4+8=14 ^^




3. 다음은 x 에 대한 부등식 ax+b²≥bx+a² 의 해에 대한 설명이다. 옳지 않은 것은?
   
   ① a>b 이면 부등식의 해는 x≥a+b 이다.
   ② a<b 이면 부등식의 해는 x≤a+b 이다.
   ③ a=b 이면 부등식의 해집합은 실수전체 집합이다.
   ④ ab<0 이면 x=a 는 부등식의 해집합의 원소이다.
   ⑤ ab>0 이면 x=b 는 부등식의 해집합의 원소이다.
   

(답) ⑤

ax+b²≥bx+a² ⇔ (a-b)x≥a²-b² ⇔ (a-b)x≥(a+b)(a-b)

③ → a=b 이면 0^.x≥0 부등식의 해집합은 모든 실수
④ → x=a 이면 좌변=a²+b², 우변=ab+a² 이고 ab<0 일 때, 좌변≥우변
⑤ → x=b 이면 좌변=ab+b², 우변=b²+a² 이고 ab>0 일 때, 좌변<우변




4. 모든 정수 x, y 에 대하여 f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1 을 만족하는 함수 f 가 있다. f(1)=1 일 때,
   f(x) 의 최소값은?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ②

1) y=1 일 때, f(x)+f(1)=f(x+1)-x-1 → f(x+1)-f(x)=x+2
2) x+2>0 이면 f(x+1)>f(x) → x=-1, 0, 1, … 일 때, f(x)<f(x+1) → f(-1)<f(0)<f(1) …
3) x+2<0 이면 f(x+1)<f(x) → x=-3, -4, -5, … 일 때, f(x+1)<f(x) → f(-2)<f(-3)<f(-4)…
4) x+2=0 이면 f(x+1)=f(x) 즉, f(-1)=f(-2)

2), 3), 4) 에서  … f(-4)<f(-3)<f(-2)=f(-1)<f(0)<f(1)<f(2) … 이므로 최소값은 f(-1)=f(-2)
x=1, y=-1 일 때, f(1)+f(-1)=f(0)+1-1 ⇔ 1+f(-1)=-1 ⇔ f(-1)=-2 ← f(0)=-1 ^^




5. 기울기 인 직선 l 과 기울기 -2 인 직선 m 이 원 x²+y² = 4 에 접하고 있다. 그림에서 삼각형 PQR 의 넓이는?
   
   

   ① 8

   ② 9

   ③ 10

   ④ 11

   ⑤ 12

(답) ② → 관련사항을 참조하세요! ^^

1) 직선 l ⊥ 직선 m ← 기울기의 곱이 -1
2) 직선 l 의 기울기=, OT=2 → QT=4
3) 직선 m 의 기울기=-2, OS=2 → RS=1
∴ PQ=6, PR=3 이므로 넓이=×6×3=9 ^^

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