PROBLEMS 20.0722 All-round check (5-7)

1. {1,2}⊂A⊂{1,2,3,4,5} 를 만족하는 집합 A 의 원소의 총합은?
   
   

   ① 120

   ② 108

   ③ 72

   ④ 68

   ⑤ 64

(답) ③

1) 조건을 만족하는 집합 A 는 8 개 존재 → {1,2}, {1,2,3}, {1,2,4}, … , {1,2,3,4,5}
2) 3 을 원소로 하는 A 는 4 개 존재 → {1,2,3}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,3,4,5}
3) 4, 5 를 원소로 하는 A 도 4 개 씩 존재 ^^

∴ (1+2)×8 + (3+4+5)×4 = 24 + 48 = 72 ^^




2. 방정식 x² = -1 의 한 근을 i 라고 할 때, 1 - i + i² -i³ + i⁴ - … - i⁹⁹ + i¹⁰⁰ 은?
   
   

   ① 1

   ② -1

   ③ 0

   ④ i

   ⑤ -i

(답) ①

1) i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1
2) 1 - i + i² - i³ = 1 - i - 1 + i = 0
3) 준식 = (1-i+i²-i³) + i⁴(1-i+i²-i³) + i⁸(1-i+i²-i³) + … + i⁹⁶(1-i+i²-i³) + i¹⁰⁰ = 1 ^^




3. 방정식 x³+ax+b=0 의 세 근이 1, a, b 이다. 이러한 삼차방정식은 몇 개 존재하는가?
   
   

   ① 1 개	② 2 개	③ 3 개
   ④ 존재하지 않는다.	⑤ 무수히 많이 존재한다.

(답) ①

1) 삼차방정식의 근과 계수의 관계에서 → 관련사항을 참조하세요! ^^

    1+a+b=0 → a+b=-1 …㉠
    1^.a+1^.b+ab=a → b(1+a)=0 …㉡
    1^.a^.b=-b → b(a+1)=0 …㉢
    ㉡, ㉢ 에서 a=-1 또는 b=0

2) ㉠ 에서 a=-1 이면 b=0 이고 b=0 이면 a=-1    ∴ 삼차방정식은 x³-x=0 한 개만 존재^^




4. 이차함수 y=ax²+bx+c 의 그래프가 모든 사분면을 지날 조건은?
   
   

   ① ab<0

   ② bc>0

   ③ ca<0

   ④ abc>0

   ⑤ abc<0

(답) ③

1) 그래프와 x축과의 교점의 x 좌표를 α, β 라고 하면
2) 그림에서 α, β 는 부호가 서로 반대 → αβ<0
3) αβ= → αβ<0 ⇔ <0 ⇔ ac<0 ^^




5. 그림에서 BM=CM, 2AN=CN 일 때, △ABC와 △APN 의 넓이의 비는?
   
   

   ① 7 : 1

   ② 8 : 1

   ③ 9 : 1

   ④ 10 : 1

   ⑤ 12 : 1

(답) ⑤

1) △ABN=△ABC×1/3 ← AN=AC×1/3
2) MQ=BN×1/2 …㉠
3) NP=MQ×1/2 …㉡
4) ㉠, ㉡ 에서  BP : PN = 3 : 1
5) △APN=△ABN×1/4

∴ △APN=△ABC×1/3×1/4

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©