PROBLEMS 20.0721 All-round check (5-6)

1. 다음은 p 가 3 보다 큰 소수일 때, p²-1 이 어떤 수의 배수임을 밝히는 과정이다.
   
   

   p는 홀수 이므로 p=2k+1 (k는 정수) 라고 놓을 수 있다. p2-1=(2k+1)2-1=4k(k+1) 에서 k(k+1)은 연속한 두 정수의 곱이므로 (가)의 배수이다. 따라서 p2-1은 (나)의 배수 이다. …㉠ p-1, p, p+1 은 연속한 세 정수이고 p 가 3 보다 큰 소수이므로 p-1 과 p+1 중의 하나는 반드시 (다)의 배수이다.  …㉡ ㉠과 ㉡ 에서 p2-1은 항상 (라)의 배수이다.

   
   위에서 (가)+(나)+(다)+(라) 는?
   
   

   ① 34

   ② 35

   ③ 36

   ④ 37

   ⑤ 38

(답) ④

1) 연속한 두 정수의 곱 k(k+1)은 2 의 배수    ∴ 4k(k+1)은 8 의 배수
2) 연속한 세 정수 중의 하나는 반드시 3 의 배수 → 예) 16, 17, 18
3) p²-1 은 8의 배수이고 3의 배수이므로 24 의 배수.^^




2. 0 이 아닌 수로 이루어진 세자리 정수가 있다. 이 수를 각 자리의 수의 합으로 나눈다. 예를 들어 132 를 1+3+2=6 으로 나누면 22, 145 를 1+4+5=10 으로 나누면 14.5 이다. 이러한 계산의 결과로  나올 수 있는 최소값은?  
   
   

   ① 9.7

   ② 10.1

   ③ 10.5

   ④ 10.9

   ⑤ 11.3

(답) ③

1) 세 자리 정수를 100a+10b+c 라고 하면
2) 
3) 90a-9c 가 최소이고 a+b+c 가 최대인 경우 계산 결과는 최소
4) a=1, c=9 이고 b=8 일 때 10+9/18 = 10.5 ^^  




3. 그림은 함수 y=f(x) 와 f 의 역함수 y=g(x) 의 그래프이다. 다음 중 옳지 않은 것은?
   
   

   ① a=b	② b=g(c)	③ c=f(a)
   ④ d=f(c)	⑤ a=g(d)

(답) ⑤

1) 역함수의 그래프는 y=x 에 대칭
2) g(c)=b ⇔ f(b)=c
3) f(b)=c 이고  f(a)=c 이므로 a=b




4. x²+y²≤1, [x]²+[y]²≤1 을 동시에 만족하는 점 (x,y) 가 존재하는 영역의 넓이는? (단, [x] 는 x 를 넘지않는 최대정수)
   
   

   ① π

   ② 3π/4

   ③ 2π/3

   ④ π/2

   ⑤ π/4

(답) ②

[x]²+[y]²≤1 이고 [x], [y]는 정수이므로

1) [x]²=0, [y]²=0 → 0≤x<1, 0≤y<1
2) [x]²=1, [y]²=0  → -1≤x<0, 0≤y<1 또는 1≤x<2, 0≤y<1
3) [x]²=0, [y]²=1 → 0≤x<1, -1≤y<0 또는 0≤x<1, 1≤y<2

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




5. 빗변의 길이가 4 이고 한 예각의 크기가 각각 30°, 45° 인 두 개의 직각삼각형을 그림과 같이 겹쳐 놓았다. PQ² 은?
   
   

   ① 8

   ② 8-

   ③ 8-2

   ④ 8-3

   ⑤ 8-4

(답) ⑤

1) 그림에서 OQ : OR = : 2 이므로 OQ=2
2) Q(x,y) 라고 하면
3) x=2×cos30°=3, y=2×sin30°=

∴ PQ² = (2-3)²+(2-)² = 8-4 ^^

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©