PROBLEMS 20.0719 All-round check (5-4)

1. 복소수 α 와 그 켤레복소수 β 에 대한 다음 설명 중 옳지 않은 것은?
   
   ① α+β 는 실수이다.
   ② αβ 는 실수이다.
   ③ α = β 이면 α 는 실수이다.
   ④ αβ = 0 이면 α = 0 이다.
   ⑤ α²+β² = 0 이면 α = 0 이다.

(답) ⑤

α=a+bi (a, b는 실수) 라고 놓으면 β=a-bi

① α+β=(a+bi)+(a-bi)=2a
② αβ=(a+bi)(a-bi)=a²+b²
③ a+bi=a-bi → (2b)i=0 → b=0 이므로 α 는 실수
④ αβ=(a+bi)(a-bi)=a²+b²=0 → a=0, b=0    ∴ α=0
⑤ 거짓 (반예) (1+i)²+(1-i)²= 2i+(-2i)=0 이지만 1+i≠0 ^^





2. a=+1, b=+, c=2+일 때, a, b, c 의 대소관계를 바르게 나타낸 것은?
   
   

   ① a<b<c

   ② b<c<a

   ③ c<a<b

   ④ a<c<b

   ⑤ b<a<c

(답) ①

1) a² = 7+2=7+,  b² = 7+2=7+, c²=7+4=7+
2) a, b, c 는 양수이고 a²<b²<c² 이므로 a<b<c ^^




3. 세 직선 y=x, y=2x, y=-x+6 으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
   
   

   ① 2

   ② 3

   ③ 4

   ④ 6

   ⑤ 8

(답) ②

1) 그림에서 A(2,4), B(3,3)
2) △OAB 의 넓이 S=^.|6-12|=3 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




4. 집합 A={(x,y)| x²+y²≤1} 와 두 점 P, Q 가 있다. P∈A, Q∈A^C, PQ≤1 일 때, 점 Q 가 존재하는 영역의 넓이는?
   
   

   ① π

   ② 2π

   ③ 3π

   ④ 4π

   ⑤ 5π

(답) ③

1) 집합 A 는 x²+y²=1 의 경계선을 포함한 내부(흰색부분)
2) 점 P는 원 x²+y²=1 의 경계선을 포함한 내부에 존재
3) 점 Q는 원 x²+y²=1 의 외부에 존재
4) PQ≤1 이므로 Q 는 그림의 어두운 부분에 존재

∴ 어두운 부분의 넓이 S = 2²π-1²π = 3π ^^




5. 그림과 같이 점 O 를 중심으로 하는 반지름이 2, 1 인 동심원 위에 점 P, Q 가 있다. 점 P는 매초 3 의 속도로, 점 Q는 매초 2의 속도로 시계방향으로 움직인다. 두 점이 처음으로 출발점에 동시에 도달할 때 까지 P, Q가 회전한 회수를 m, n 이라 할 때, m+n 은?
   
   

   ① 6

   ② 7

   ③ 8

   ④ 9

   ⑤ 10

(답) ②

1) t 초 후 P, Q 가 동시에 출발점에 도달한다고 하면
2) P가 움직인 거리 → 3t = 4π×m  …㉠
3) Q가 움직인 거리 → 2t = 2π×n  …㉡
4) ㉠, ㉡ 을 변끼리 나누면 ⇔ 4m=3n …㉢
㉢ 을 만족하는 최소의 양의 정수값은 m=3, n=4    ∴ m+n=7 ^^

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©