PROBLEMS 20.0718 All-round check (5-3)

1. 연산 * 를 a*b = a+b-ab 로 정의한다. 방정식 x*(x*x) = x 의 모든 근의 합은?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ③

1) x*x = x+x-x² = 2x-x²
2) x*(x*x) = x*(2x-x²) = x+(2x-x²)-x(2x-x²)= x³-3x²+3x
3) x*(x*x) = x ⇔ x³-3x²+3x = x ⇔ x(x²-3x+2) = 0 ⇔ x(x-1)(x-2) = 0 ^^  




2. 빗변의 길이가 a 이고 다른 한 변의 길이가 b 인 직각삼각형이 있다. a, b 가 연속한 자연수일  때, 세 번째 변의 길이의 제곱은?
   
   

   ① ab

   ② a/b

   ③ b/a

   ④ a+b

   ⑤ a-b

   　

(답) ④

1) 다른 한 변의 길이를 x 라고 하면 a² = b²+x²
2) x² = a²-b² = (a-b)(a+b) = 1×(a+b) = a+b ^^ ← a, b 는 연속한 두 자연수 ⇔ a=b+1





3. 방정식 x²-2x-2=0 의 두 근이 α, β 일 때, (x-α)²+(x-β)² 의 최소값을 구하면?
   
   

   ① 2

   ② 3

   ③ 4

   ④ 5

   ⑤ 6

(답) ⑤

1) (x-α)²+(x-β)² = (x²-2αx+α²)+(x²-2βx+β²) = 2x²-2(α+β)x+(α²+β²) …㉠
2) α²+β² = (α+β)²-2αβ = 2²-2(-2) = 8 ← x²-2x-2=0 의 두 근이 α, β ⇔ α+β=2, αβ=-2

㉠ 에서 2x²-4x+8 = 2(x-1)²+6 ^^




4. log(1+)+log(1+)+log(1+)+ … + log(1+) 을 간단히 하면?
   
   

   ① log2

   ② log3

   ③ log5

   ④ log7

   ⑤ log11

(답) ③

log+log+log+ … + log = log(×××… ×) = log5 ^^
☞ log_ax+log_ay+log_az = log_axyz





5. 직각 이등변삼각형 ABC 가 있다. 그림에서 AD=a, DC=b 이면 sin15° = □×이다. □ 안에 알맞은 수는?
   
   

   ① 1

   ②

   ③

   ④

   ⑤ 3

(답) ②

1) △BCD 에서 BD : DC = 2 : 1 ← sin30°=1/2
2) △ADE 는 직각이등변 삼각형
3) BD=2b, DE= 이므로 sin15°=^^

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©