PROBLEMS 20.0715 All-round check (4-7)

1. 어느 마을 주민 전체의 평균나이는 42 세이고, 남자의 평균나이는 45 세, 여자의 평균나이는 40 세라고 한다. 이 마을의 남자와 여자의 수의 비는?
   
   

   ① 5 : 4

   ② 4 : 3

   ③ 3 : 2

   ④ 2 : 1

   ⑤ 1 : 1

(답) ③

남자의 수를 a 명, 여자의 수를 b 명이라고 하면

1) 전체 주민의 나이의 합=42(a+b), 남자의 나이의 합=45a, 여자의 나이의 합=40b
2) 42(a+b)=45a+40b ⇔ 3a=2b ⇔ a : b = 3 : 2 ^^





2. 모든 자연수 m, n 에 대하여 10^m+10ⁿ+25 를 나누는 가장 큰 정수는?
   
   

   ① 3

   ② 5

   ③ 9

   ④ 15

   ⑤ 45

(답) ⑤

1) 10^m+10ⁿ+25 의 끝 자리의 수가 5 이므로 5 의 배수
2) 10^m+10ⁿ+25 의 각 자리 수의 합은 9 이므로 9 의 배수

∴ 5 의 배수이고 9 의 배수이므로 45 의 배수^^




3. 함수의 역함수를 f^-1 이라고 할 때 f^-1(-3)+f^-1(3) 은?
   
   

   ① 1

   ② 0

   ③ -1

   ④ -2

   ⑤ -3

(답) ②

1) x≥0 인 모든 x 에 대하여 x+1≥0
2) x<0 인 모든 x 에 대하여 -x²+1<1
3) f^-1(-3)=a ⇔ f(a)=-3, -a²+1=-3 (a<0)  ∴ a=-2 ← f(a)<1 이므로 f(a)=-a²+1 (a<0)
4) f-1(3)=b ⇔ f(b)=3, b+1=3 (b≥0) ∴ b=2 ← f(b)>1 이므로 f(b)=b+1 (b≥0)




4. log₁₀(x+y-1)=log₁₀x+log₁₀y-1 을 만족하는 양의 정수 x, y 의 순서쌍 (x,y) 의 개수는?
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ 6

   ⑤ 12

(답) ⑤

1) log₁₀(x+y-1)=log₁₀x+log₁₀y-1 ⇔ log₁₀10(x+y-1)=log₁₀xy
2) 10(x+y-1)=xy ⇔ xy-10(x+y)+10=0 ⇔ (x-10)(y-10)=90
3) x-10, y-10 은 90 의 약수 → 90=2¹×3²×5¹ 에서 90의 약수의 개수는 2×3×2=12 개 ^^

☞ 관련사항을 참조하세요!




5. 그림에서 △OAB의 넓이가 1, △OCD의 넓이가 4 일 때 사각형 ABCD의 넓이의 최소값은?
   
   

   ① 7

   ② 8

   ③ 9

   ④ 10

   ⑤ 11

(답) ③

1) △OAD=a, △OBC=b 라고 놓으면 사각형의 넓이는 a+b+5
2) 1 : a = b : 4 ⇔ ab=4
3) a+b≥2에서 a+b≥4 ← 산술평균≥기하평균

☞ 관련사항을 참조하세요!

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©