PROBLEMS 20.0713 All-round check (4-5)

1. 방정식 x²-xy+y=0 를 만족하는 정수의 순서쌍 (x,y) 의 개수는?
   
   

   ① 1 개

   ② 2 개

   ③ 3 개

   ④ 4 개

   ⑤ 5 개

(답) ②

1) -(x-1)y+x²=0 ⇔ -(x-1)y+(x-1)(x+1)+1=0 ⇔ (x-1)(-y+x+1)+1=0
2) (x-1)(x-y+1)=-1 ⇔ x-1=1, x-y+1=-1 또는 x-1=-1, x-y+1=1 에서 (2,4), (0,0)




2. 각 A 가 직각인 삼각형 ABC가 있다. A 를 중심으로 하고 AB 를 반지름으로 하는 원과 AB, AC 의 교점을 D, E 라고 한다. BD=2, DC=3 일 때 AC² 은?
   
   

   ① 18

   ② 19

   ③ 20

   ④ 21

   ⑤ 22

(답) ③

1) 그림에서 BH=1 이고 △ABH∽△CBA
2) AB : BH = BC : AB ⇔ AB : 1 = 5 : AB ∴ AB² =5
3) AC²=BC²-AB² ⇔ AC²=5²-5=20 ^^




3. 포물선 y=ax²+bx+c (a≠0) 의 꼭지점이 제1 사분면에 존재할 때, 다음 중 반드시 성립하는 것은?
   
   

   ① ab>0	② bc>0	③ ca>0
   ④ a(b2-4ac)>0	⑤ b(b2-4ac)>0

(답) ⑤

1) 포물선의 꼭지점의 좌표는
2) ab<0 …㉠ 이고 a(b²-4ac)<0 …㉡ 일 때 꼭지점의 x, y 좌표는 모두 양수
3) ㉠, ㉡ 에서 b와 b²-4ac는 같은 부호^^






4. 최대공약수가 1인 세 자연수 A, B, C가 Alog₂₀₀5+Blog₂₀₀2=C 를 만족할 때, A+B+C 는? ['95 AHSME 24번]
   
   

   ① 4

   ② 6

   ③ 8

   ④ 9

   ⑤ 10

(답) ②

1) Alog₂₀₀5+Blog₂₀₀2=C ⇔ log₂₀₀(5^A×2^B)=C ⇔ 5^A×2^B=200^C
2) 5^A×2^B=200^C ⇔ 5^A×2^B=(2³×5²)^C 에서 A=2C, B=3C
3) A, B, C의 최대공약수가 1 이므로 C=1, A=2, B=3 ^^




5. 그림과 같은 사각형의 넓이가 1 일 때, sinθ+5cosθ 의 값에 가장 가까운 것은?
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ 4

   ⑤ 5

(답) ⑤ → 관련사항을 참조하세요!^^

1) △ABC의 넓이=×4×3×sinθ=6sinθ
2) △ADC의 넓이=×1×2×sinθ=sinα
3) 사각형의 넓이 → 6sinθ+sinα=1 …㉠
4) AC²=4²+3²-2×4×3×xcosθ=1²+2²-2×1×2×cosα 에서
    25-24cosθ=5-4cosα ⇔ 6cosθ-cosα=5 …㉡

㉠, ㉡ 에서 sinα=1-6sinθ, cosα=6cosθ-5
두 식을 제곱하여 변끼리 더하면 1=(1-6sinθ)²+(6cosθ-5)²
1=36-12sinθ-60cosθ+26 ⇔ 12(sinθ+5cosθ)=61⇔ sinθ+5cosθ=61/12 ^^

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©