PROBLEMS 20.0705 All-round check (3-4)

1. f(x)=x³+2x²+3x+4 에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=1 이 성립할 때, a²+b²+c² 의 값은?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ②

1) f(a)-1=f(b)-1=f(c)-1=0
2) a, b, c 는 삼차방정식 f(x)-1=0 의 세 근 ← F(a)=0 ⇔ x=a 는 F(x)=0 의 한 근^^
3) x³+2x²+3x+3=0 의 세 근이 a, b, c 이므로
4) a+b+c=-2, ab+bc+ca=3, abc=-3 ← 근과 계수의 관계

a²+b²+c² = (a+b+c)²-2(ab+bc+ca)=(-2)²-2×3 = -2 ^^




2. 학생수 50 명인 어느 학급의 회장 선거에서 A, B, C, D 후보에 대한 중간 개표 결과, A 는 15 표, B는 8 표, C는 2 표, D는 5 표를 얻었다. A는 최소한 몇 표를 더 얻어야 당선이 확정되는가? (단, 무효표나 기권표는 없는 것으로 한다.)
   
   

   ① 7

   ② 8

   ③ 9

   ④ 10

   ⑤ 11

(답) ①

1) 남아 있는 표 → 50-(15+8+2+5) = 20 표
2) A, B 가 얻은표의 합 = 15+8= 23
3) 20+23 =43 → 43/2 = 21.5
4) A 가 22표 이고 B 가 21인 경우 A 가 한 표차로 당선^^




3. log_ab=log_ba 를 만족하는 점 (a,b) 가 존재하는 범위를 바르게 나타낸 것은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ⑤

1) log_ab=log_ba ⇔ (log_ab)²=1 ⇔ log_ab=±1    ∴ a=b 또는 ab=1  
2) a, b>0, a≠1, b≠1 ← 진수, 밑수조건





4. 그림과 같이 중심이 O 이고 반지름의 길이가 각각 1, 2 인 동심원 위를 움직이는 점 P, Q 가 있다. ∠OPQ=θ 라고 할 때, sinθ 의 값이 될 수 없는 것은?
   
   

   ① 0.2

   ② 0.3

   ③ 0.4

   ④ 0.5

   ⑤ 0.6

(답) ⑤

1) ∠OQP=α 라고 하면 OP : OQ = sinα : sinθ ← 사인법칙
2) 2 : 1 = sinα : sinθ ⇔ sinθ=sinα
3) 그림에서 0°≤α≤180° 이므로 0≤sinα≤1    ∴ 0≤sinθ≤0.5




5. 대각선의 길이가 각각 10, 24 인 마름모에 내접하는 원의 반지름의 길이는? ['99 AHSME 16번]
   
   

   ① 4

   ② 58/13

   ③ 60/13

   ④ 5

   ⑤ 6

(답) ③

1) PQ² = 5²+12² = 169    ∴ PQ=13
2) OP×OQ = PQ×OR ⇔ 5×12 = 13×r ^^

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©