PROBLEMS 20.0704 All-round check (3-3)

1. a>b, c>d 일 때, 다음 중 옳은 것을 모두 고르면?
   
   

   ㄱ. a+c>b+d ㄴ. a-d>b-c ㄷ. ac+bd>ad+bc

   
   

   ① ㄱ

   ② ㄱ, ㄴ

   ③ ㄱ, ㄷ

   ④ ㄴ, ㄷ

   ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(답) ⑤

ㄱ. (a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d)>0  ∴ (a+c)-(b+d)>0 이므로 a+c>b+d ← A-B>0 ⇔ A>B
ㄴ. (a-d)-(b-c)=(a-b)+(c-d)>0  ∴ (a-d)-(b-c)>0 이므로 a-d>b-c
ㄷ. (ac+bd)-(ad+bc)=(ac-bc)+(bd-ad)=c(a-b)-d(a-b)=(a-b)(c-d)>0 ^^

☞ a>0, b>0 이면 a+b>0 이고 ab>0 ← 양수 집합은 덧셈과 곱셈에 대하여 닫힘.^^ 




2. 다음 중 둘레의 길이가 4a, 넓이가 4b인 직사각형의 가로, 세로의 길이를 구할 수 있는 방정식은?
   
   

   ① x2-4ax+4b=0	② x2-4ax+2b=0	③ x2-2ax+4b=0
   ④ x2-ax+4b=0	⑤ x2-4ax+b=0

(답) ③

1) 직사각형의 가로와 세로를 α, β 라고 하면 2α+2β=4a, αβ=4b → α+β=2a, αβ=4b
2) α, β 를 두 근으로 하는 이차방정식 (x-α)(x-β)=0 ⇔ x²-(α+β)x+αβ=0 → x²-2ax+4b=0 ^^




3. X={1,2,3,4} 일 때, 함수 f : X → R, f(x)=ax+5, g : X → R, g(x)=x+1 에 대하여 합성함수 gof 가 정의되는 a 의 조건은?
   
   

   ① a=-1

   ② a=0

   ③ a=1

   ④ a<0

   ⑤ a>0

(답) ①

1) f 의 치역={a+5, 2a+5, 3a+5, 4a+5}
2) gof 가 정의되려면 → f의 치역⊂g의 정의역    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^
3) f의 치역 → {a+5, 2a+5, 3a+5, 4a+5}
4) {a+5, 2a+5, 3a+5, 4a+5}⊂{1,2,3,4}    ∴ a=-1




4. 원 x²+y²=1 과 직선 m(x+1)+n(y-1)=0 이 공유점을 갖지 않을 조건은?
   
   

   ① m>0

   ② n<0

   ③ mn>0

   ④ mn<0

   ⑤ mn=0

(답) ④

1) m(x+1)+n(y-1)=0 ⇔ mx+ny+(m-n)=0
2) (0,0) 에서 mx+ny+(m-n)=0 까지의 거리 d=
3) d>1 → >1 ⇔ |m-n|>⇔ |m-n|² > m²+n²
∴ m²-2mn+n² > m²+n² 에서 mn<0 ← |m-n|² = (m-n)²

☞ 원과 직선이 만나지 않을 조건 → d>r    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




5. 그림과 같이 각각 1km, 2km 떨어진 지점에 A, B, C 세 마을이 있다. A 마을에는 200 명, B, C 마을에는 각각 100 명의 학생들이 학교에 다니고 있다. 통학거리가 최소가 되도록 학교건물을 지을 때 학교의 위치로 적당한 곳은?
   
   

   ① A 의 왼쪽	② A 와 B 사이	③ B 와 C 사이
   ④ C	⑤ C 의 오른쪽

(답) ②

1) A(0) 이라고 놓으면 → B(1), C(3)
2) 학교의 위치 → P(x)
3) 통학거리 → 200|x|+100|x-1|+100|x-3|
                    =100^.(2|x|+|x-1|+|x-3|)
4) f(x)=2|x|+|x-1|+|x-3|가 최소일 때 통학거리는 최소

i) x<0 일 때, f(x)=-4x+4
ii) 0≤x<1 일 때, f(x)=4
iii) 1≤x<3 일 때, f(x)=2x+2
iv) x≥3 일 때, f(x)=4x-4

그림에서 0≤x≤1 일 때 f(x) 는 최소이고 최소값은 4 ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©