PROBLEMS 20.0702 All-round check (3-1)

1. 복소수 z 가 (z+1)(z+2)=3 을 만족한다. 을 계산하면?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ③

1) (z+1)(z+2)=3 ⇔ z²+3x-1=0 ← 계수가 실수인 z의 이차방정식
2) z²+3x-1=0 의 두 근은 z, ← 켤레근 정리
3) z+=-3, z=-1 ^^  ← 근과 계수의 관계




2. (1,0), (2,0), (0,2)를 꼭지점으로 하는 삼각형의 수심의 좌표는?
   
   

   ① (1,1)

   ② (0,1)

   ③ (1,0)

   ④ (0,-1)

   ⑤ (1,0)

(답) ④

1) y축이 BC 에 수직이므로 수심은 y 축 위에 존재
2) AC의 기울기는 -1
3) B를 지나고 AC에 수직인 직선의 방정식은 y=x-1
4) y축과 y=x-1의 교점 → 수심 H(0,-1) ^^

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3. 모든 실수 x, y에 대하여 f(x+y)=f(x)-f(y)+1 을 만족하는 함수 f 가 있다. 다음 중 옳지 않은 것은?
   
   

   ① f(0)=1	② f(1)=1	③ f(2)=1
   ④ f 는 상수함수	⑤  f(π)≠1

(답) ⑤

1) y=0 이면 f(x)=f(x)-f(0)+1 ∴ f(0)=1
2) x=0, y=1 이면 f(1)=f(0)-f(1)+1 ⇔ 2f(1)=2  ∴ f(1)=1
3) x=1, y=1 이면 f(2)=1
4) x=0 이면 f(y)=f(0)-f(y)+1 ⇔ 2f(y)=2 ⇔ f(y)=1 ^^ ← 상수함수 입니다.^^




4. 땅에 매립한 어떤 폐기물질은 1년마다 현재 양의 1% 가 자연분해 된다고 한다. 이 폐기물질이 90 % 이상 자연분해 되는 때는? (단, log₁₀9.9=0.996 으로 계산한다.)
   
   

   ① 100 년 후	② 150 년 후	③ 200 년 후
   ④ 250 년 후	⑤ 300 년 후

(답) ④

현재의 폐기물질의 양을 A 라고 하면

1) 1 년 후의 폐기물질의 양=A(1-0.01)=0.99A
    2 년 후의 폐기물질의 양=0.99A(1-0.01)=0.99²A → n 년 후의 폐기물질의 양=0.99ⁿA
2) 0.99ⁿA≤A(1-0.9) ⇔ 0.99ⁿ≤0.1 ⇔ log₁₀0.99ⁿ≤log₁₀0.1 ⇔ nlog₁₀0.99≤-1
3) log₁₀0.99=log₁₀9.9-1=0.996-1=-0.004
4) n×(-0.004)≤-1 ⇔ -4n≤-1000    ∴ n≥250




5. 두 개의 정삼각형 PAB 와 QBC 의 넓이의 비가 1 : 4 일 때, △POA와 △PBQ의 넓이의 비는?
   
   

   ① 1 : 2	② 2 : 3	③ 3 : 4
   ④ 4 : 5	⑤ 5 : 6

(답) ①

1) PB : QB = 1 : 2 ← 정삼각형의 닮음비 1 : 2
2) ∠PBQ=60° 이므로 ∠BPQ=90°   ∴ ∠BQP=30°
3) △OBP≡△QBP ← △OBQ 는 이등변삼각형
4) OA=AB ← △OAP 는 이등변삼각형

∴ △POA : △PBQ = 1 : 2

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©