PROBLEMS 20.0629 All-round check (2-5)

1. 이차식 f(x), g(x) 에 대하여 항상 (x-1)f(x) = (x-2)g(x) 가 성립한다. f(1)=1, g(2)=2 일 때, f(0)+g(0) 은?
   
   

   ① 4

   ② -6

   ③ 8

   ④ -10

   ⑤ 12

(답) ④

1) f(2)=0, g(1)=0 ← (x-1)f(x) = (x-2)g(x)
2) f(x)=(x-2)(ax+b) …㉠ 라고 하면 g(x)=(x-1)(ax+b) …㉡

㉠, ㉡ 에서 f(1)=-a-b=1, g(2)=2a+b=2 → a=3, b=-4

∴ f(x)=(x-2)(3x-4), g(x)=(x-1)(3x-4) 이므로 f(0)+g(0)=8+4=12 ^^




2. △ABC의 변 BC를 3 등분하는 점을 M, N 이라고 하면 항상 AB²+AC² = AM²+aAN²+bMN² 이 성립한다. a+b 는?
   
   

   ① 3

   ② 4

   ③ 5

   ④ 6

   ⑤ 7

(답) ③

1) △ABN 에서 AB²+AN² = 2(AM²+BM²) …㉠ ← 중선정리
2) △AMC 에서 AM²+AC² = 2(AN²+MN²) …㉡ ← 중선정리

㉠, ㉡ 을 변끼리 더하면 AB²+AC² = AM²+AN²+4MN² ^^ ← BM=MN




3. f(x) = x²-1일 때, (fofof)(x) = 3 을 만족하는 실수 x 의 개수는?
   
   

   ① 0

   ② 1

   ③ 2

   ④ 3

   ⑤ 4

   (답) ③
   
   1) (fofof)(x)=3 ⇔ f((fof)(x))=3 ⇔ {(fof)(x)}²-1=3
   2) {(fof)(x)}²=4 ⇔ (fof)(x)=±2 ⇔ {f(x)}²-1=±2 에서 {f(x)}²=3 ← {f(x)}²≥0 ^^
   3) {f(x)}²=3 ⇔ f(x)=± ⇔ x²-1=± ⇔ x²=1±
   x²=1±에서 1-<0 이므로 x²=1+    ∴ 방정식의 실근은 ^^

   
   
   
4. 다음은 y=2^x, y=x, x=a^y의 그래프이다. 두 점 P, Q 가 그림과 같이 대응할 때 a 는?
   
   

   ①

   ② 2

   ③

   ④ 2.5

   ⑤ 3

(답) ③

1) Q(5, log_a5) ← x=a^y ⇔ y=log_ax
2) P(loga5, 4) ⇔ P(log_a5, 2^loga⁵) ← 점 P 는 y=2^x 위의 점

∴ 2^loga⁵ = 4 ⇔ log_a5=2 ⇔ a²=5 ⇔ a= ^^




5. 방정식 cos(log₁₀x)=0 의 해는 0<x<1 의 범위에서 몇 개 존재하는가? ['99 AHSME 18번]
   
   

   ① 0 개

   ② 1 개

   ③ 2 개

   ④ 3 개

   ⑤ 무한히 많이 존재

(답) ⑤

1) cos(log₁₀x)=0 ⇔ log₁₀x=2nπ± ⇔ x=← n은 정수
2) 2nπ±<0 이면  0<<1    ∴ x는 무한히 많이 존재
☞ 관련사항을 참조하세요! ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©