PROBLEMS 20.0627 All-round check (2-3)

1. a, b, c가 모두 자연수 일 때, 명제「a²+b²=c² 이면 a, b, c 중 적어도 하나는 3 의 배수이다.」는 참이다. 다음 중 반드시 참이 되는 명제는?
   
   ① a, b, c 가 모두 3 의 배수이면 a²+b²=c² 이다.
   ② a, b, c 가 모두 3 의 배수가 아니면 a²+b²≠c² 이다.
   ③ a²+b²≠c² 이면 a, b, c 는 모두 3 의 배수가 아니다.
   ④ a, b, c 중 적어도 하나가 3 의 배수이면 a²+b²=c² 이다.
   ⑤ a²+b²≠c² 이면 a, b, c 중 적어도 하나는 3의 배수가 아니다.

(답) ②

1) p→q ⇔ ~q→~p ← 명제와 그 대우는 동치
2) ~(p 또는 q) ⇔ ~p 이고 ~q ← ~(적어도 하나는 … 이다.) ⇔ 모두 … 이 아니다.

주어진 명제의 대우 → ~(a, b, c 중 적어도 하나는 3 의 배수) → ~(a²+b²=c²)
∴ a, b, c가 모두 3의 배수가 아니면 a²+b²≠c² ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요!




2. 포물선 y=x² 과 직선 y=ax+b (a, b 는 유리수)의 그래프가 그림과 같이 점 P 에서 만난다.  a+b 는?
   
   

   ① 1

   ② -2

   ③ 3

   ④ -4

   ⑤ 5

(답) ①

1) 방정식 x²=ax+b 은 계수가 유리수인 방정식
2) x²-ax+b=0 의 한 근이 1+이므로 다른 한 근은 1-← 켤레근 정리 ^^

(1+)+(1-)=a, (1+)(1-)=b 에서 a=2, b=-1 ← 근과 계수의 관계 ^^




3. 의 그래프와 그 역함수의 그래프가 모두 (2,3) 을 지날 때, a+b 는?
   
   

   ① 12

   ② 13

   ③ 14

   ④ 15

   ⑤ 16

(답) ③

1) y²=ax+b (y≥0) …㉠ 의 역함수는 x²=ay+b (x≥0) …㉡ ← y=f(x) 의 역함수는 x=f(y)
2) 점 (2,3) 을 ㉠, ㉡ 에 대입하면 9=2a+b, 4=3a+b

2a+b=9, 3a+b=4 에서 a=-5, b=19 ^^




4. x 를 자기자신 x 에 대응시키는 함수를 항등함수라고 한다.  f(x)=ax+b 일 때, fof 는 항등함수이고 fofof 는 항등함수가 아닌 함수 f 는 몇 개 존재하는가?
   
   

   ① 존재하지 않는다.	② 1 개	③ 2 개
   ④ 3 개	⑤ 무한히 많이 존재

(답) ⑤

1) (fof)(x) = af(x)+b = a(ax+b)+b = a²x+(ab+b) = x 에서 a²=1, b(a+1)=0 …㉠
2) (fofof)(x) = (fo(fof))(x) = f(x) =ax+b …㉡

㉠ 에서 a=1, b=0 또는 a=-1, b는 임의의 실수
㉡ 이 항등함수가 아니므로 a=-1, b는 임의의 실수

☞ f(x)=-x+k 일 때, fof(x)=x, (fofof)(x) = -x+k ^^    ☞ 관련사항을 참조하세요!




5. 그림은 S 에서 나온 빛이 한 변의 길이가 4인 정사각형의 변에서 반사되어 T 에 도달하는 것을 나타낸 것이다. 빛이 진행한 경로의 길이는?
   
   

   ① 17.5

   ② 18

   ③ 18.5

   ④ 20

   ⑤ 21

(답) ④

1) 그림에서 SP=5
2) SP' = SP×=
3) SP+PQ = QQ'+Q'R = RR'+R'T =
∴ 빛이 진행한 거리 = ×3 = 20 ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©