PROBLEMS 20.0622 All-round check (1-5)

1. 삼차방정식 x³+10x-11=0 의 두 허근을 α, β 라고 할 때, α³+β³ 의 값은?
   
   

   ① 10

   ② 11

   ③ 22

   ④ 32

   ⑤ 33

(답) ④

1) (x-1)(x²+x+11)=0 의 허근은 x²+x+11=0 에서 …
2) x²+x+11=0 의 두 근이 α, β 이므로 α+β=-1, αβ=11 ← 근과 계수의 관계

α³+β³=(α+β)³-3αβ(α+β)=(-1)³-3×11×(-1)=32

☞ α+β+γ=0 이므로 α³+β³+γ³=3αβγ 를 이용해도 됩니다. → 관련사항을 참조하세요! ^^




2. 2(1+2+3+…+n)=n(n+1) 을 이용하여 n²-1 이 3 의 배수가 되는 100 이하의  모든 자연수 n 의 합을 구하면?
   
   

   ① 3367

   ② 3376

   ③ 3736

   ④ 3763

   ⑤ 3673

(답) ①

1) 정수 n 은 3k 또는 3k±1 꼴 중의 어느 하나 ← {정수}={3의 배수}∪{3의 배수가 아닌수}
2) n=3k±1 ⇔ n²=9k²±6k+1 이므로 이 때 n²-1은 3 의 배수

2(1+2+3+…+100)=100×101 ⇔ 1+2+3+…+100=5050
3+6+9+…+99=3(1+2+3+…+33)=3×33×17 ← 2(1+2+3+…+33)=33×34

5050-99×17=5050-(1700-17)=5067-1700=3367 ^^




3. 원 x²+y²-2x-3=0 위의 점 P에 대하여 OP의 길이가 정수인 점을 P₁, P₂, …, P_n 라고 한다. 이 점들을 꼭지점으로 하는 다각형의 넓이는?
   
   

   ①

   ② 8

   ③ 2

   ④ 3

   ⑤ 12

(답) ③

1) (x-1)²+y²=2² → 중심 (1,0), r=2
2)  1≤OP≤3 이므로 OP=1, 2, 3
3) 삼각형 OP₁C 는 이등변 삼각형
    이고 높이는

사각형 P₁P₂P₃P₄ 의 넓이
S=(×4×)×2=2




4. 분수함수 의 그래프에 대한 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?
   
   

   ㄱ. 그래프는 점 (1,1)에 대하여 대칭이다. ㄴ. 그래프는 직선 y=x 에 대하여 대칭이다. ㄷ. y>1 이면 x<1 이다.

   
   

   ① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
   ④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(답) ⑤

1) 의 점근선은 x=1, y=1 ∴ 대칭의 중심은 (1,1)
2) ⇔ y(x-1)=x-2 ⇔ xy-x-y+2=0 ⇔ yx-y-x+2=0

☞ xy-x-y+2=0 ⇔ yx-y-x+2=0 이므로 그래프는 y=x 에 대칭
☞ 관련사항을 참조하세요! ^^





5. 3sinx=2cosx (0≤x<2π) 의 두 실근을 α, β 라고 할 때, |α-β| 에 가장 가까운 정수 값은?
   
   

   ① 0

   ② 1

   ③ 2

   ④ 3

   ⑤ 4

(답) ④

1) 그림에서 |α-β|=π
2) π=3.14 … ^^

☞ π 는 180° 를 나타내는 실수 ^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©