PROBLEMS 20.0620 All-round check (1-3)

1. a<b 인 실수 a, b 가 a(a-1) = b(b-1) 를 만족할 때, x 의 부등식 x(x-1) > a(a-1) 의 해집합은?
   
   

   ① {x| x<a}	② {x| x>b}	③ {x| x<a, x>b}
   ④ {x| a<x<b}	⑤ {x| x≠a, x≠b}

(답) ③

f(x)=x(x-1) 이라고 놓으면

1) a(a-1) = b(b-1) ⇔ f(a)=f(b)
2) x(x-1) > a(a-1) ⇔ f(x) > f(a)

그림에서 x<a 또는 x>b 일 때, f(x) > f(a) ^^




2. 양의 정수 n 에 대하여 다음과 같이 정의된 함수 f 가 있다. f(2000) 은?
   
   
   i) f(1)=1
   ii) 모든 자연수 n 에 대하여  f(n)+f(n+1)=n
   
   

   ① 998

   ② 999

   ③ 1000

   ④ 1001

   ⑤ 1002

(답) ②



n=1, 2, 3, … 를 차례로 f(n)+f(n+1)=n 에 대입해 봅니다.^^ 1) f(2n-1)=n 이고 2) f(2n)=n-1 이므로 f(2000)=1000-1=999 ^^ ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^

f(1)=1 f(1)+f(2)=1 → f(2)=0 f(2)+f(3)=2 → f(3)=2 f(3)+f(4)=3 → f(4)=1 f(4)+f(5)=4 → f(5)=3 f(5)+f(6)=5 → f(6)=2 f(6)+f(7)=6 → f(7)=4  ………………………




3. 함수 f(x)가 모든 x 에 대하여 f(a+x)+f(a-x)=2b 를 만족하면 함수 f(x)의 그래프는 점 (a,b) 에 대하여 대칭이다. 이것을 이용하여 f(x)=x³-3x² 의 대칭의 중심의 좌표를 구하면?
   
   

   ① (1,0)

   ② (0,2)

   ③ (-1,2)

   ④ (1,-2)

   ⑤ (-1,-2)

(답) ④

1) f(a+x)=(a+x)³-3(a+x)² …㉠
2) f(a-x)=(a-x)³-3(a-x)² …㉡

㉠, ㉡ 을 변끼리 더하면 f(a+x)+f(a-x)=2(a³+3ax²)-3(2a²+2x²)=(6a-6)x²+(2a³-6a²)
f(a+x)+f(a-x)=2b ⇔ (6a-6)x²+(2a³-6a²)=2b ← x 에 대한 항등식입니다. ^^

6a-6=0, 2a³-6a²=2b 에서 a=1, b=-2    ∴ (1,-2)    ☞ 관련사항을 참조하세요! ^^




4. 다음 중 y=log₂x 의 그래프를 평행이동 또는 대칭이동하여 포개어 놓을 수 있는 그래프는?
   
   

   ㄱ. y=2x ㄴ. y=log2(2x+4) ㄷ. y=3×2x

   
   

   ① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
   ④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

(답) ⑤

ㄱ. y=2^x 의 역함수 ⇔ x=2^y ⇔ y=log₂x ←  y=x 에 대하여 대칭
ㄴ. y=log₂(2x+4) ⇔ y=log₂2+log₂(x+2) ⇔ y-1=log₂(x+2) ← 평행이동 입니다. ^^
ㄷ. y=3×2^x 의 역함수 ⇔ x=3×2^y ⇔ log₂x=log₂3+log₂2^y ⇔ y+log₂3=log₂x
     따라서 y=3×2^x 를 y=x에 대칭이동한 다음 y → -log₂3 만큼 평행이동하면
     포개 놓을 수 있습니다.^^




5. AB=2 인 두개의 고정된 점 A, B 에 대하여 AP=PQ=QB=1 을 만족하며 움직이는 점 P, Q가 있다. 점 P 가 움직인 자취를 옳게 나타낸 것은?
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ②

1) 왼쪽 그림 → 점 P 의 자취는 원
2) 가운데 그림 → 점 P의 자취는 경계선을 포함한 원의 내부
3) 오른쪽 그림 → 위의 두 자취의 교집합 (보라색 원호)

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©