PROBLEMS 20.0615 출제된 문제: 삼각함수 (5)

1. 그림과 같은 삼각형 ABC 에서 ∠B=45°, AB=, AC=일 때 sinA 의 값은? ['87]
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ②

1) ()²=a²+()²-2^.a^.cos45° ← c²=a²+b²-2abcosC
2) a²-2a-3=0 ⇔ (a-3)(a+1)=0 에서 a=3
3) a : sinA = c : sinC ⇔ 3 : sinA = : sin45° ^^




2. 넓이가 4 이고 ∠B=30° 인 △ABC 중에서 AC 가 최소일 때, AB+BC 의 값은? ['실험평가]
   
   

   ① 5

   ② 6

   ③ 7

   ④ 8

   ⑤ 9

(답) ④

1) S=casinB 에서 4=ca^. ⇔ ca=16
2) b²=c²+a²-2ca^.cos30° 에서 c²+a² 이 최소일 때 b 는 최소 ← ca=16
3) c²+a²≥2ca ⇔ c²+a²≥32 (등호는 c=a 일 때 성립) ← 산술평균≥기하평균 또는 (c-a)²≥0

∴ AB+BC=c+a 의 최소값은 4+4=8 ^^




3. 오른쪽 그림과 같은 직각이등변 삼각형 ABC 에서 ∠A 의 이등분선이 변 BC 를 1 : 2로 내분할 때, cos의 값은? ['91]
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤ -1

(답) ①

1) AB : AC = BD : DC = 1 : 2 → 관련사항을 참조하세요!
2) 그림에서 BC²=(2b)²-b²=3b²  ← 피타고라스의 정리

AB : BC : CA = 1 : 2 : 이므로 ∠A=60°




4. 부등식 log₂(2sin²x+cosx)>1 의 해는? (단, 0°≤x<360°) ['실험평가]
   
   

   ① 0°≤x<60° 또는 150°≤x<360°	② 0°≤x<60°
   ③ 120°<x<240°	④ 90°<x<270°
   ⑤ 60°<x<90° 또는 270°<x<300°

(답) ⑤

1) log₂(2sin²x+cosx)>1 ⇔ 2sin²x+cosx>2 ⇔ 2(1-cos²x)+cosx>2
2) 2cos²x-cosx<0 ⇔ cosx(2cosx-1)<0 ⇔ 0<cosx< → cos60°=
∴ 0<cosx<⇔ 60°<x<90° 또는 270°<x<300° → 관련사항 참조.^^




5. 아래 그림과 같이 A 지점에서 P 지점까지의 직선거리를 구하려 한다. P 지점에 높이 210m 인 철탑 PQ 가 지면에 수직하게 서 있고, AB=2km, ∠ABP=45°, ∠QBP=4° 이다. 이 때, A 지점에서 P 지점까지의 거리는 약 몇 km 인가? (단, sin4°=0.070, cos4°=0.998, tan4°=0.070 이다.) ['실험평가]
   
   

   ① 1.8

   ② 2.1

   ③ 2.4

   ④ 2.7

   ⑤ 3.0

(답) ②

1) AP²=BA²+BP²-2BA^.BPcos45° ← 제2 코사인법칙
2) BP×tan4°=PQ ⇔ BP×0.070=0.210 km    ∴ BP=3 km

AP²=2²+3²-2×2×3×cos45°=13-12×=13-6≒4.5    ☞ 2.1²=4.41, 2.4²=5.76 ^^

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©