PROBLEMS 20.0614 출제된 문제: 삼각함수 (4)

1. a, b 는 양수이고 α+β+γ=π 이다. a²+b²=3ab^.cosγ 일 때, 9sin²(π+α+β)+9cosγ 의 최대값을 구하시오. ['97, 주관식]

(답) 11

1) sin²(π+α+β)=sin²(2π-γ)=(-sinγ)²=sin²γ ← sin(2π+θ)=sinθ, sin(-θ)=-sinθ
2) 9sin²(π+α+β)+9cosγ=9(1-cos²γ)+9cosγ ←  sin²γ=1-cos²γ
3) a²+b²≥2ab 이므로 3ab^.cosγ≥2ab 에서 ≤cosγ≤1 ← (a²+b²)-2ab=(a-b)²≥0
준식=-9(cos²γ-cosγ)+9=-9(cosγ-)²++9 이므로
준식은 cosγ= 일 때 최대이고 최대값은 -9{()²-}+9=-4+6+9=11




2. sinθ+cosθ=일 때, 의 값은? ['94]
   
   

   ① 45/16

   ② 43/16

   ③ 41/16

   ④ 39/16

   ⑤ 37/16

(답) ④

1) =
2) (sinθ+cosθ)²=1+2sinθcosθ 에서 sinθcosθ=-← sinθ+cosθ=
3) sin³θ+cos³θ=(sinθ+cosθ)³-3sinθcosθ(sinθcosθ)=()³+3××=
∴ 준식=÷(-)²=39/16 ^^




3. △ABC 의 꼭지점 A, B, C 의 대변의 길이를 각각 a, b, c 라 할 때, log₂(a²+b²-c²)=+log₂a+log₂b 이 성립한다면, ∠C의 크기는? ['89]
   
   

   ① π/6

   ② π/4

   ③ π/3

   ④ π/2

   ⑤ 2π/3

(답) ②

1) log₂(a²+b²-c²)=log₂+log₂ab ⇔ a²+b²-c²=ab
2) cosC= ← 제2 코사인법칙 c²=a²+b²-2abcosC
∴ ∠C=45°=π/4




4. △ABC에서 등식 sin²+4cos=2 가 성립할 때, sin의 값은? ['88]
   
   

   ① 2+	② 2-	③ -2
   ④ (2-)	⑤ (-2)

(답) ③

1) B+C-2π=(π-A)-2π=-π-A ← A+B+C=π
2) sin=-cos ← sin(-θ)=-sinθ, sin(π/2+θ)=cosθ
3) sin²+4cos=2  ⇔ (1-cos²)+4cos=2   ← -1≤cosθ≤1
 cos²-4cos+1=0 에서 cos=2-   ∴ -cos=-2




5. 그림과 같은 모든 모서리의 길이가 1 인 정사각뿔이 있다. 모서리 EC 위를 움직이는 점 P 에 대하여 ∠BPD=θ 라 할 때, cosθ 의 최대값과 최소값의 합은? ['94]
   
   

   ① -	② -	③ 0
   ④	⑤

(답) ①

1) BP=DP=x 라고 놓으면 ≤x≤1
2) △BPD 에서 BD²=BP²+DP²-2BP^.DPcosθ ⇔ 2=2x²-2x²cosθ
3) 1=x²-x²cosθ ⇔ x²cosθ=x²-1 ⇔ cosθ=1-
≤x²≤1 ⇔ 1≤≤ 이므로 -≤cosθ≤0

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©