PROBLEMS 20.0612 출제된 문제: 삼각함수 (2)

1. log₂(tan1°)+log₂(tan2°)+log₂(tan3°)+ … + log₂(tan89°) 의 값은? ['91]
   
   

   ① 2

   ② 1

   ③

   ④ 0

   ⑤ -

(답) ④

1) log_ax+log_ay=log_axy, tanθ×tan(90°-θ)=1
2) log₂(tan1°)+log₂(tan89°)=log₂(tan1°×tan89°)=log₂1=0 ← log_a1=0 ⇔ a¹=a
    log₂(tan2°)+log₂(tan88°)=log₂(tan2°×tan88°)=log₂1=0
    ……………………………………………………………………
    log₂(tan44°)+log₂(tan46°)=log₂(tan44°×tan46°)=log₂1=0
    log₂(tan45°)=log₂1=0    ☞ 관련사항을 참조하세요!




2. 다음 중에서, 모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(x+) 를 만족시키는 것은? ['84]
   
   

   ① f(x)=cosπx	② f(x)=cosπx	③ f(x)=sinπx
   ④ f(x)=sinπx	⑤ f(x)=sin(πx+)

(답) ④

1) 모든 x 에 대하여 f(x)=f(x+p) ⇔ f 는 주기 p 인 주기함수
2) sinωx, cosωx 는 주기 인 주기함수
④ → sinπx 의 주기는     ☞ 관련사항을 참조하세요!





3. 사각형 ABCD 에서 꼭지점 A, B, D 를 지나는 원의 반지름과 꼭지점 B, C, D 를 지나는 원의 반지름의 비가 1 : 2 일 때, sinA : sinC 는 ? ['91]
   
   

   ① 1 : 2	② 2 : 1	③ 2 : 3
   ④ 1 : 3	⑤ 3 : 1

(답) ②

1) 사인법칙 ⇔ a=2RsinA  ←  a 가 일정하면 R 과 sinA 는 반비례 
2) △ABD 에서 BD=2×1×sinA
3) △BCD 에서 BD=2×2×sinC    ∴ sinA : sinC = 2 : 1




4. 방정식 sinπx=x 의 근의 개수는? ['실험평가]
   
   

   ① 1

   ② 3

   ③ 5

   ④ 7

   ⑤ 무한히 많다.

(답) ④

1) sinπx 는 주기 2 인 주기함수
2) y=sinπx 와 y=x 의 교점은 7 개





5. 다음은 삼각형의 변의 길이와 각의 코사인 사이의 관계인 제이코사인법칙을 △ABC 에서 ∠A가 둔각인 경우에 대하여 증명한 것이다.
   
   

   오른쪽 그림과 같이 세 변의 길이가 a, b, c 인 △ABC 를 좌표 평면의 원점에 꼭지점 A가 놓이도록 하자. 꼭지점 C 의 좌표를 (x,y)라 하면 x=, y= 이므로, 피타고라스의 정리에 의하여 다음이 성립한다.  a2=()2+y2=b2+c2-2bccosA

   
   위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 쓴 것은? ['95]
   
   

   ① bcosA, bsinA, c+x	② bcosA, bsinA, c-x
   ③ bcosA, -bsinA, c+x	④ -bcosA, -bsinA, c-x
   ⑤ -bcosA, -bsinA, c+x

   　

(답) ②

1) cosA=, sinA=에서 x=bcosA, y=bsinA
2) B(c,0), C(x,y) ⇔ C(bcosA, bsinA)
3) BC²=(c-x)²+y²

a²=(bcosA-c)²+(bsinA)²
    =(b²cos²A-2bccosA+c²)+b²sin²A
    =b²(cos²A+sin²A)+c²-2bc^.cosA ← cos²A+sin²A=1

∴ a²=b²+c²-2bc^.cosA ← 제이코사인법칙    ☞ 관련사항을 참조하세요!

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©