PROBLEMS 20.0609 출제된 문제: 지수와 로그 (6)

1. 두 함수 y=log₁₀3x, y=3log₁₀x 의 그래프에 대하여 다음 설명 중 옳은 것은? ['실험평가 ]
   
   

   ① 두 그래프는 일치한다.	② 두 그래프는 만나지 않는다.
   ③ 두 그래프는 한 점에서만 만난다.	④ 두 그래프는 두 점에서만 만난다.
   ⑤ 두 그래프는 세 점에서만 만난다.

   　

(답) ③

1) log₁₀3x=3log₁₀x ⇔ log₁₀3+log₁₀x=3log₁₀x ⇔ 2log₁₀x=log₁₀3
2) log₁₀x²=log₁₀3 (x>0) ⇔ x²=3 (x>0) ⇔ x=




2. 그림은 y=log₁₀x의 그래프이다. log₁₀M=0.3, log₁₀N=0.4 일 때, MN의 값은? ['실험평가]
   
   ① a
   ② b
   ③ c
   ④ d
   ⑤ e

(답) ⑤

1) log₁₀M=0.3, log₁₀N=0.4
2) log₁₀M+log₁₀N=0.7 ⇔ log₁₀MN=0.7
2) 그림에서 log₁₀e=0.7    ∴ MN=e




3. x>0, y>0 일 때, log₃+log₃의 최소값은? ['90]
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 4

   ④ 6

   ⑤ 8

(답) ②

1) log₃+log₃=log₃
2) =xy+4+1+=5+xy+≥9 ← xy+≥2=4

∴  log₃≥ log₃9 = log₃3² = 2    ☞ 관련사항을 참조하세요!




4. 다음 중에서 영역 {(x,y)| -1≤x≤1, log₃(x+2)≤y≤1}과 같은 영역은? ['90]
   
   

   ① {(x,y)| 0≤y≤1, -1≤x≤3y-2}	② {(x,y)| y≥0, -1≤x≤3y-2}
   ③ {(x,y)| 0≤y≤1, 3y-2≤x≤1}	④ {(x,y)| y≥0, 3y-2≤x≤1}
   ⑤ {(x,y)| 0≤y≤1, 0≤x≤3y-2}

(답) ①

1) log₃(x+2)≤y≤1 ⇔  log₃(x+2)≤log₃3^y≤log₃3 ⇔ x+2≤3^y≤3
2) x+2≤3^y≤3 ⇔ x≤3^y-2 이고 y≤1 …㉠
3) x+2≤3^y, x≥-1 에서 3^y≥1 이므로 y≥0 …㉡

㉠, ㉡ 에서 0≤y≤1, -1≤x≤3^y-2    ☞ 관련사항을 참조하세요!




5. 어떤 산업에서 노동의 투입량을 x, 자본의 투입량을 y 라 할 때, 그 산업의 생산량 z 는 다음과 같다.
   z=2x^αy^1-α (α 는 0<α<1 인 상수)
   
   자료에 의하여 1993 년도의 노동 및 자본의 투입량은 1980 년도보다 각각 4 배와 2 배이고, 1993년도 산업생산량은 1980 년도 산업생산량의 2.5 배이다. 이 사실로부터 상수 α 의 값을 소수 둘째 자리까지 구하면? (단, log2=0.30) ['95]
   
   

   ① 0.50

   ② 0.33

   ③ 0.25

   ④ 0.20

   ⑤ 0.10

(답) ②

1) 1980 년도의 노동의 투입량, 자본의 투입량, 산업생산량을 x, y, z 라고 하면
2) 1993 년도의 노동의 투입량, 자본의 투입량, 산업생산량은 4x, 2y, 2.5z

1980 년도 → z=2x^αy^1-α …㉠
1993 년도 → 2.5z=2(4x)^α(2y)^1-α …㉡

㉠, ㉡ 에서 z 를 소거하면

2.5×2x^αy^1-α=2(4x)^α(2y)^1-α ⇔ 5^.x^αy^1-α=2×4^α×2^1-α.x^αy^1-α
5=2×4^α×2^1-α ⇔ 5=2×2^2α×2^1-α ⇔ 5=2^1+2α+(1-α) ⇔ 5=2^α+2

2^α+2=5 ⇔ log2^α+2=log5 ⇔ (α+2)log2=log5 ← log₁₀2+log₁₀5=1
(α+2)×0.30=1-0.30 ⇔ (α+2)×0.30=0.70 ⇔ 3α+6=7    ∴ α==0.333 …

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©