PROBLEMS 20.0608 출제된 문제: 지수와 로그 (5)

1. a>1, b>1 일 때, (log₂a+2log₄b)log8 의 값은? ['87]
   
   

   ① 6

   ② 8

   ③ 10

   ④ 12

   ⑤ 14

(답) ①

1) log₄b=logb=log₂b ←
2) (log₂a+2log₄b)log8=(log₂a+log₂b)log2³=(log₂ab)(3log2)

(log₂ab)(3log2)=3(log2)(log₂ab)=3logab=6 ←




2. log₂2x+log₂y=2 일 때, log₂(2x+4y) 의 최소값은? ['92]
   
   

   ① 1

   ② 2

   ③ 3

   ④ 4

   ⑤ 5

(답) ②

1) log₂2x+log₂y=2 ⇔ log₂(2x^.y)=2 ⇔ 2xy=2² ⇔ xy=2
2) ⇔ 2x+4y≥4 ← a>0, b>0 일 때, (산술평균≥기하평균)

2x+4y≥4 ⇔ log₂(2x+4y)≥log₂4 ⇔ log₂(2x+4y)≥2





3. 세 실수 A=2¹⁵, B=5¹³, C=6¹¹ 의 대소관계를 옳게 나타내고 있는 것은? (단, log₁₀2=0.3010, log₁₀3=0.4771) ['84]
   
   

   ① A<B<C	② B<C<A	③ C<A<B
   ④ B<A<C	⑤ A<C<B

(답) ⑤

1) log₁₀A=log₁₀2¹⁵=15log₁₀2=15×0.3010=4.515
2) log₁₀B=log₁₀5¹³=13log₁₀5=13(1-log₁₀2)=13(1-0.3010)=13×0.6990=9.087
3) log₁₀C=log₁₀6¹¹=11log₁₀6=11(log₁₀2+log₁₀3) =11(0.3010+0.4771)=11×0.7781=8.5591

log₁₀A<log₁₀C<log₁₀B ⇔ A<C<B → 관련사항을 참조하세요!

☞ log₁₀2+log₁₀5=1 ⇔ log₁₀5=1-log₁₀2




4. 연립부등식 의 해를 구하시오. ['92, 주관식]　

(답) 1<x<, <x<2


2) log₂x+log₂(x-1)≤1 ⇔ log₂x(x-1)≤log₂2 (x>0, x-1>0) ⇔ x(x-1)≤2 (x>1) …㉠
3) (x-2)(2x-3)²<0 ⇔ x-2<0, 2x-3≠0 …㉡

㉠ → x²-x-2≤0 ⇔ (x-2)(x+1)≤0 에서 x>1 이므로 1<x<2
㉡ → x<2, x≠    ∴ 1<x<, <x<2






5. 수	0	1	2
   1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5	.0000 .0414 .0792 .1139 .1461 .1761 .2041 .2304 .2553 .2788 .3010 .3222 .3424 .3617 .3802 .3979	.0043 .0453 .0828 .1173 .1492 .1790 .2068 .2330 .2577 .2810 .3032 .3243 .3444 .3636 .3820 .3997	.0086 .0492 .0864 .1206 .1523 .1818 .2095 .2355 .2601 .2833 .3054 .3263 .3464 .3655 .3838 .4014

   1000 만 원의 목돈을 마련하기 위해 월 불입금 10 만 원, 월 이율 1% 매달 복리로 계산하는 적금에 가입하려고 한다. 최소한 몇 번의 불입금을 내야 만기일에 원리합계가 1000 만 원 이상이 되는가?
   
   매월 적금 액이 a원인 적금의 경우, 월 이율 r 의 복리로 이자를 계산할 때 n개월 후의 원리합계 S를 구하는 식은  S=(1+r){(1+r)ⁿ-1} 이다. ['실험평가]
   
   

   ① 70	② 80
   ③ 87	④ 93
   ⑤ 100





(답) ①

1) S=(1+0.01){(1+0.01)ⁿ-1}≥1000 (만원)
2) 1000×1.01(1.01ⁿ-1)≥1000 ⇔ 1.01(1.01ⁿ-1)≥1 ⇔ 1.01ⁿ⁺¹-1.01≥1 ⇔ 1.01ⁿ⁺¹≥2.01
3) log1.01ⁿ⁺¹≥log2.01 ⇔ (n+1)log1.01≥log2.01 ⇔ (n+1)×0.0043≥0.3032

n+1≥에서 n≥69.511… 이므로 n=70, 71, 72, …

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©