PROBLEMS 20.0602 출제된 문제: 함수 (6)

1. 함수 f(x)=이 역함수 g 를 가질 때, 점 (1,3) 이 y=f(x) 의 그래프와 y=g(x) 의 그래프 위에 있다. a와 b의 값을 구하시오. ['89,주관식]  

(답) a=-1, b=-

1) f(1)=3 …㉠
2) g(1)=3 ⇔ f^-1(1)=3 ⇔ f(3)=1 …㉡

㉠ → ⇔ a-1=3(b+1) ⇔ a-3b=4, ㉡ → ⇔ 3a-1=3b+1 ⇔ 3a-3b=2
∴ a-3b=4, 3a-3b=2 연립하면 a=-1, b=-




2. 두 곡선 과 의 교점을 (a,b) 라 할 때, a+b 의 값은? ['92]
   
   

   ① 6

   ② 7

   ③ 8

   ④ 9

   ⑤ 10

(답) ①

1) ⇔ y²=2x+3 (y≥0) …㉠
2) ⇔ x²=2y+3 (x≥0) …㉡

㉠-㉡ 하면

y²-x²=2(x-y) ⇔ (x²-y²)+2(x-y)=0 ⇔ (x-y)(x+y+2)=0
x+y+2>0 이므로 x-y=0
y=x 를 ㉠에 대입하면 x²=2x+3 ⇔ x²-2x-3=0 ⇔ (x-3)(x+1)=0 ⇔ x=3 ← x≥0

∴ 교점의 좌표는 (3,3) 이므로 a+b=6 → 관련사항을 참조하세요! ^^





3. 함수 f(x)=의 역함수가 f^-1(x)=일 때, 상수 a, b, c의 합 a+b+c 는? ['99]
   
   

   ① 3

   ② 2

   ③ 1

   ④ 0

   ⑤ -1

(답) ④

1) =y 라고 놓으면 x-1=y(x-2)
2) x-1=y(x-2) 의 역함수 ⇔ y-1=x(y-2) ⇔ (1-x)y=-2x+1 ← y=f(x) 의 역함수 ⇔ x=f(y)
3) (1-x)y=-2x+1 에서 y== 이므로 f^-1(x)=
∴ a=2, b=-1, c=-1




4. 그래프가 오른쪽 그림과 같은 함수 y=f(x) 를 나타내는 식은?
   ['실험평가]
   
   

   ① |x-1|-|y|=1	② |x+1|-|y|=1	③ |x-1|+|y|=1
   ④ |x+1|+y=1	⑤ |x+1|+|y|=1

(답) ④

1) 주어진 그래프는 y=-|x|을 x→-1, y→1 만큼 평행이동한 그래프
2) y=-|x|을 x→-1, y→1 만큼 평행이동 하면 y-1=-|x+1|

∴ y-1=-|x+1| ⇔ |x+1|+y=1


☞ y=f(x)를 x→m, y→n 만큼 평행이동하면 y-n=f(x-m) ^^




5. 모든 실수에서 정의된 함수 f(x) 가 다음 <보기>에 있는 세 가지 조건을 만족시킨다.
   
   

   <보기> 가. f(x)는 연속함수이고 f(x)=f(-x) 이다. 나. |x|>5 이면 f(x)=0 이다. 다. |x|<5 이면 |f(x)|≤10 이고, f(x)=10 이 되는       x는 오직 한 개 있다.

   
   다음 중 옳지 않은 것은? ['94]
   
   ① f(5)=f(-5)=0
   ② f(x) 는 x=0 일 때 최대이다.
   ③ f(x)=5 가 되는 x 는 오직 한 개 있다.
   ④ f(x) 가 최소가 되는 x 는 오직 한 개 있다.
   ⑤ 모든 실수 x에 대하여 f(x+5)f(x-5)=0 이다.

(답) ④ → 그림참조^^

1) 가 에서  f(x)=f(-x) 에서 그래프는 y 축에 대칭
2) 가, 나 에서 그래프는 점 (-5,0), (5,0) 을 포함
3) 다 에서 f(x) 의 최대값은 f(0)=10

☞ 조건을 만족하는 함수 f(x) 는 무한히 많이 존재합니다.
☞ 그림은 f(x)를 최소 되게 하는 x가 두 개 존재하는 경우의 한 예 입니다. ^^ 

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 확인을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©