| Today's study point | gof = I 이면 fog = I 이고 f 와 g 는 서로의 역함수 ^^ |
오늘은 합성함수의 뜻과 역함수에 대하여 생각해 보겠습니다. x 에서 y 를 구하는 함수가 있을때, y 에서 x 를 구하는 함수를 역함수라고 합니다. ^^
1. 합성함수(composite functions) → f 의 치역이 g 의 정의역의 부분집합일 때만 합성함수 gof 가 존재
1) f 와 g 의 합성함수 gof → gof(x) =
(gof)(x) = g(f(x))
2) gof 의 정의역과 공역 → gof 의 정의역 = f 의 정의역, gof
의 공역 = g 의 공역
3) (hog)of = ho(gof) = hogof, gof ≠ fog
예) f = {(1,3), (2,5)}, g = {(3,a), (4,b), (5,c)}일 때, gof = {(1,a), (2,c)}
2. 역함수(inverse functions) → f 가 일대일대응일 때만 f 의 역함수 f-1 가 존재
일대일 대응 f : X → Y, y = f(x) 의 역함수 ⇔ f-1 : Y → X, x = f(y)
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f : {1,2,3} → {4,5,6}, y=x+3 의 역함수 ⇔
f-1 : {4,5,6} → {1,2,3}, x=y+3 |
3. 역함수 구하기(finding inverse functions)
y=f(x) 에서 역함수의 식 f-1(x) 를 구하려면? → x, y 를 바꾼 식 x=f(y) 에서 y 를 구합니다. ^^
1) y=f(x) 의 역함수 ⇔ x=f(y) ⇔
y=f-1(x) 예) y=x+3 의 역함수 ⇔ x=y+3
⇔ y=x-3
2) 역함수 f-1 의 정의역 ⇔ f 의 치역 예) f-1
= {(4,1), (5,2), (6,3)}, f = {(1,4), (2,5), (3,6)}
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(보기) f(x) = 1) f(x) = |
(x≥3)
의 역함수의 식 f-1(x) 구하기
(y≥3, x≥2)4. 여러가지 성질(miscellaneous properties)
1) foI = Iof = f, (f-1of)
= (fof-1) = I ←
I 는 항등함수(identity function)
2) (f-1)-1=f, (gof)-1
= f-1og-1, (hogof)-1
= f-1og-1oh-1
♧ 정리하여 둡시다.
☞ gof = I 이면 fog = I 이고 f 와 g 는 서로의 역함수 ^^
Today's Quotation
It is not enough to have a good mind. The main thing is to use it well. -René Descartes-
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☞ 오늘 문제는 합성함수와 역함수 입니다. |
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