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PROBLEMS
21.0413 합성함수와 역함수 |
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- f(x)=x-1, g(x)=3x+1 일 때, (gof)(3) 을 구하면?
- R 에서 R 로의 함수 f 와 g 가 있다. f(x)=-x+1, g(x)=3x+a 일 때, gof = fog 가 성립하도록 상수 a 를 정하시오.
- f(x) = x2+2x+3 (x≥0)의 역함수 f-1(x) 를 구하시오.
- 일대일대응 f 와 g 가 있다. (gof)(3)=2 일 때, (f-1o(fog)-1of)(2) 를 구하면?
- f(x)=2x+1 일 때, f(3x+1) 의 역함수 h(x) 를 구하면?
(답) 7
☞ gof(x)=(gof)(x)=g(f(x))
1) f(3)=3-1=2
2) (gof)(3)=g(f(3))=g(2)=3·2+1=7
(답) a=-1
1) (gof)(x) = g(f(x)) = 3f(x)+a = 3(-x+1)+a = -3x+(3+a)
2) (fog)(x) = f(g(x)) = -g(x)+1 = -(3x+a)+1 = -3x+(-a+1)
3) 3+a=-a+1, 2a=-2 에서 a=-1 ^^
2) (fog)(x) = f(g(x)) = -g(x)+1 = -(3x+a)+1 = -3x+(-a+1)
3) 3+a=-a+1, 2a=-2 에서 a=-1 ^^
☞ 일반적으로 gof ≠ fog 이지만, gof = fog 이 성립하는 경우도 있습니다.^^
(답) f-1(x)=
-1
(x≥3)
-1
(x≥3)
1) f(x)=x2+2x+3=(x+1)2+2 에서 x≥0 이므로 f(x)≥3
2) x2+2x+3=y (x≥0, y≥3) 라고 놓으면 역함수는 y2+2y+3=x (y≥0, x≥3)
3) (y+1)2+2=x ⇔ (y+1)2=x-2 ⇔ y+1=±
4) y+1=± 에서 y≥0, x≥3 이므로 y+1=
⇔ y=-1
∴ 역함수는 f-1(x)=-1
(x≥3)
2) x2+2x+3=y (x≥0, y≥3) 라고 놓으면 역함수는 y2+2y+3=x (y≥0, x≥3)
3) (y+1)2+2=x ⇔ (y+1)2=x-2 ⇔ y+1=±
4) y+1=±
에서 y≥0, x≥3 이므로 y+1=
⇔ y=-1∴ 역함수는 f-1(x)=
-1
(x≥3)
☞ y=f(x) 의 역함수는? → x=f(y) 이고 그래프는 y=f(x) 와 y=x 에 대칭
(답) 3
1) f-1o(fog)-1of = f-1o(g-1of-1)of
2) f-1o(g-1of-1)of =(f-1og-1)o(f-1of)=(gof)-1oI = (gof)-1 이므로
3) (f-1o(fog)-1of)(2)=(gof)-1(2)
4) (gof)-1(2) = a 라고 놓으면 (gof)(a)=2 ← f-1(x)=y ⇔ f(y)=x
5) 조건에서 (gof)(3)=2 이고 gof 는 일대일대응이므로 a=3 ^^
2) f-1o(g-1of-1)of =(f-1og-1)o(f-1of)=(gof)-1oI = (gof)-1 이므로
3) (f-1o(fog)-1of)(2)=(gof)-1(2)
4) (gof)-1(2) = a 라고 놓으면 (gof)(a)=2 ← f-1(x)=y ⇔ f(y)=x
5) 조건에서 (gof)(3)=2 이고 gof 는 일대일대응이므로 a=3 ^^
☞ (gof)-1 = f-1og-1, ho(gof)=(hog)of,
fof-1=I, foI=f
☞ 일대일대응 f 에 대하여 f(a)=f(b) 이면 a=b
^^
(답) 
1) f(3x+1)=y 라고 놓으면 f(3x+1)=y 의 역함수는 f(3y+1)=x
2) f(3y+1)=x ⇔ 3y+1=f-1(x) ⇔ y=
{f-1(x)-1} …㉠
3) f(x)=2x+1에서 2x+1=y 라고 놓으면 역함수의 식은 2y+1=x
4) 2y+1=x 에서 y 를 구하면 y=
(x-1)
∴ f-1(x)=x-…㉡
㉠, ㉡ 에서
^^
2) f(3y+1)=x ⇔ 3y+1=f-1(x) ⇔ y=
{f-1(x)-1} …㉠3) f(x)=2x+1에서 2x+1=y 라고 놓으면 역함수의 식은 2y+1=x
4) 2y+1=x 에서 y 를 구하면 y=
(x-1)
∴ f-1(x)=x-…㉡㉠, ㉡ 에서
^^
f(x) 의 역함수의 식 f-1(x) 를 구하려면? → i) f(x)=y 라고 놓고 문자 x, y 를 바꿔줍니다. ii) f(y)=x 에서 y 를 구해서 y=f-1(x) 를 얻습니다. ^^
☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^