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PROBLEMS
21.0412 일대응 대응과 항등함수 |
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- 일대일 함수 f 가 f(a-1)=f(3-a)=a 를 만족할 때 f(1) 를
구하시오.
- 함수 f : {x| x≥1} → {y| y≥a}, f(x)=x2-2x+3 이 일대일대응이 되도록 상수 a 를 정하시오.
- 함수 f : {x| 1≤x≤3} → {y| -1≤y≤3}, f(x)=ax+b 가 일대일대응일 때 f(2) 를 구하시오.
- Z 가 정수전체의 집합일 때, 함수 f : Z → Z, f(x)=ax 가 일대일대응이 되도록 상수 a 를 정하시오,
- f : R-{1} → R, f(x)=
은
일대일 함수이지만 일대일대응이 아님을 밝히시오.
(답) 2
1) f 가 일대일 함수 → a-1=3-a 에서 a=2
2) f(a-1)=a 에 a=2 를 대입하면 f(1)=2 ^^
2) f(a-1)=a 에 a=2 를 대입하면 f(1)=2 ^^
☞ 일대일 함수 f → a≠b 이면 f(a)≠f(b) ⇔ f(a)=f(b) 이면 a=b
(답) a=2
1) 일대일대응 f → a≠b 이면 f(a)≠f(b) 이고 치역=공역
2) f(x)=(x-1)2+2 의 치역은 {y| y≥2} → 그림참조^^
3) {y| y≥a}={y| y≥2} 이므로 a=2 ^^
2) f(x)=(x-1)2+2 의 치역은 {y| y≥2} → 그림참조^^
3) {y| y≥a}={y| y≥2} 이므로 a=2 ^^
a≠b 이면 f(a)≠f(b) 인 함수를 일대일함수(one-to-one function) 이라 하고, 이 중에서 치역=공역 인 것을 일대일대응(one-to-one correspondence) 라고 합니다. ^^
(답) 1
그림에서 f(2) 는 선분 AB 또는 A′B′
의 중점의 y 좌표 ^^
1) f(x)=ax+b 의 그래프는 직선
2) 일대일 대응이면 치역=공역
3) f(1)=a+b, f(2)=2a+b
4) a+b=-1, 3a+b=3 또는 a+b=3, 3a+b=-1 이므로
5) a=2, b=-3 또는 a=-2, b=5 에서 f(2)=2a+b=1 ^^
그림에서 f(2) 는 선분 AB 또는 A′B′
의 중점의 y 좌표 ^^1) f(x)=ax+b 의 그래프는 직선
2) 일대일 대응이면 치역=공역
3) f(1)=a+b, f(2)=2a+b
4) a+b=-1, 3a+b=3 또는 a+b=3, 3a+b=-1 이므로
5) a=2, b=-3 또는 a=-2, b=5 에서 f(2)=2a+b=1 ^^
☞ 함수 f 가 일대일대응 → (f 의 치역)=(f 의 공역)
(답) a=±1
1) f 의 치역 f(Z)={0, ±a, ±2a, ±3a, ±4a, …}
2) f 의 공역 Z={0, ±1, ±2, ±3, ±4, …}
3) 일대일대응이면 치역=공역 이므로 {0, ±a, ±2a, ±3a, …}={0, ±1, ±2, ±3, …} ∴ a=±1
2) f 의 공역 Z={0, ±1, ±2, ±3, ±4, …}
3) 일대일대응이면 치역=공역 이므로 {0, ±a, ±2a, ±3a, …}={0, ±1, ±2, ±3, …} ∴ a=±1
☞ a≠b 이면 f(a)≠f(b) 이고 치역=공역 → f 는 일대일대응 ^^
(증명)
i) a≠b (a, b 는 1 이 아닌 실수)라고 하자.
∴ a≠b 이면 f(a)≠f(b) 이므로 f 는 일대일 함수
ii)=y 라고 놓으면 x=y(x-1), (1-y)x=-y
에서 y=1 이면 x 는 존재하지 않는다.
즉, y=1 에 대응하는 x 가 존재하지 않으므로 f 의 치역은 R-{1} 이므로 공역≠치역
i), ii) 에서 f 는 일대일 함수이지만 일대일대응은 아니다. 증명 끝.
∴ a≠b 이면 f(a)≠f(b) 이므로 f 는 일대일 함수
ii)
=y 라고 놓으면 x=y(x-1), (1-y)x=-y
에서 y=1 이면 x 는 존재하지 않는다.즉, y=1 에 대응하는 x 가 존재하지 않으므로 f 의 치역은 R-{1} 이므로 공역≠치역
i), ii) 에서 f 는 일대일 함수이지만 일대일대응은 아니다. 증명 끝.
일대일 함수 f 가 일대일대응이 아닌 것을 보이려면?
→ f(x)≠a 인 a 가 공역 안에 존재하는 것을 보인다. ^^
☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^