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PROBLEMS
21.0409 부등식과 영역 (2) |
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- (x-1)(x-y+1)>0 을 만족하는 점 (x,y) 의 집합을 도시하시오.
- (x-1)(y-1)(x-y+1)>0 을 만족하는 점 (x,y) 의 집합을 도시하시오.
- 점 (a,-2a) 가 부등식 (x-1)(x-y+1)>0 이 나타내는 영역에 속하지 않도록 a 의 범위를 정하시오.
- P(1,2), Q(3,-1) 일 때, 직선 ax-2y+1=0 이 선분 PQ 와 만나지 않도록 a 의 범위를 정하시오.
- P(1,-1), Q(2,1) 일 때, 선분 PQ 가 원 x2+y2-2x+ay-1=0 의 내부에 존재하도록 상수 a 의 범위를 정하시오.
(답) 오른쪽 그림 ^^
1) x-1>0, x-y+1>0 ⇔ x>1, y<x+1 …㉠
2) x-1<0, x-y+1<0 ⇔ x<1, y>x+1 …㉡
3) ㉠, ㉡ 이 나타내는 영역의 합집합. ^^
2) x-1<0, x-y+1<0 ⇔ x<1, y>x+1 …㉡
3) ㉠, ㉡ 이 나타내는 영역의 합집합. ^^
☞ x>f(y) 이 나타내는 영역 → x=f(y)
의 오른쪽부분
☞ y>f(x) 이 나타내는 영역 → y=f(x) 의 윗부분
(답) 오른쪽 그림 ^^
1) (x-1)(y-1)(x-y+1)>0 이므로
2) x-1, y-1, x-y+1 의 부호가 다음과 같은 영역을 찾습니다.^^
2) x-1, y-1, x-y+1 의 부호가 다음과 같은 영역을 찾습니다.^^
i) (+)(+)(+)>0 …㉠
ii) (+)(-)(-)>0 …㉡ → 이 경우는 존재하지 않음. ^^
iii) (-)(+)(-)>0 …㉢
iv) (-)(-)(+)>0 …㉣
위에서 원점 O(0,0) 를 식에 대입하면 (-)(-)(+)>0 이 되어 부등식이 성립하므로, 원점 O(0,0) 는 영역에 속하는 점입니다. ^^
(답) -1≤a≤1
1) (a,-2a)
{(x,y)|(x-1)(x-y+1)>0}
⇔ (a,-2a)∈{(x,y)|(x-1)(x-y+1)≤0}
2) (a-1)(-a+2a+1)≤0 ⇔ (a-1)(a+1)≤0 ⇔ -1≤a≤1
{(x,y)|(x-1)(x-y+1)>0}
⇔ (a,-2a)∈{(x,y)|(x-1)(x-y+1)≤0}2) (a-1)(-a+2a+1)≤0 ⇔ (a-1)(a+1)≤0 ⇔ -1≤a≤1
☞ (x,y){(x,y)|
f(x,y)<0} 이면 (x,y)∈{(x,y)|f(x,y)≥0}
(답) a<-1 또는 a>3
1) 점 P, Q 가 직선 ax-2y+1=0 에 의해 나뉘어진 영역의 같은 쪽에
존재하면 조건이 만족됩니다.
2) (a·1-2·2+1)(a·3-2·(-1)+1)>0 ⇔
(a-3)(3a+3)>0
3) (a-3)(a+1)>0 에서 a<-1 또는 a>3 ^^
2) (a·1-2·2+1)(a·3-2·(-1)+1)>0 ⇔
(a-3)(3a+3)>03) (a-3)(a+1)>0 에서 a<-1 또는 a>3 ^^
오른쪽 그림과 같이 P(1,2)와 Q(3,-1) 를 지나는 직선의 방정식에서 답을 얻을 수도 있습니다. ^^
(답) -1<a<0
1) 원 x2+y2-2x+ay-1=0 의 내부를 나타내는 부등식 → {(x,y)|
x2+y2-2x+ay-1<0}
2) P(1,-1)∈{(x,y)| x2+y2-2x+ay-1<0} → 2-2-a-1<0 이므로 a>-1…㉠
3) Q(2,1)∈{(x,y)| x2+y2-2x+ay-1<0} → 5-4+a-1<0 이므로 a<0 …㉡
4) ㉠, ㉡ 에서 -1<a<0 ^^
2) P(1,-1)∈{(x,y)| x2+y2-2x+ay-1<0} → 2-2-a-1<0 이므로 a>-1…㉠
3) Q(2,1)∈{(x,y)| x2+y2-2x+ay-1<0} → 5-4+a-1<0 이므로 a<0 …㉡
4) ㉠, ㉡ 에서 -1<a<0 ^^
원은 경계선이 볼록한 도형이므로, 선분의 끝점이 원의 내부에 존재하면 선분 위의 모든 점이 원의 내부에 존재합니다. ^^
☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^