| Today's study point | 점 (x,y) 를 +90° 회전이동하면? → 점 (-y,x) ^^ |
오늘은 점의 이동(transfer of points) 중에서 평행이동, 대칭이동 및 원점을 중심으로 시계반대방향으로 90° 회전이동하는 문제에 대하여 생각해 보겠습니다. ^^
1. 평행이동(translation)
1) 점 (x,y) 를 x→m, y→n 만큼 평행이동하면 (x+m,y+n)
2) f(x,y)=0 을 x→m, y→n 만큼 평행이동한 도형의 방정식 f(x-m,y-n)=0
1-2)의
증명
f(x,y)=0 …① 위의 임의의 점을 (x,y) 라고 하자.
점 (x,y) 를 x→m, y→n 만큼 평행이동하면 (x+m,y+n)
x+m=X, y+n=Y 라고 놓으면 x=X-m, y=Y-n
점 (x,y) 는 ① 위의 점 이므로 대입하면 f(X-m,Y-n)=0
즉, 점 (X,Y) 는 f(x-m,y-n)=0 위의 점이므로 옮겨진 도형의 방정식은 f(x-m,y-n)=0
^^
2. 대칭이동(reflection)
1) x 축에 대하여 대칭이동 : 점 (x,y) 는 (x,-y) 로, 도형 f(x,y)=0
은 f(x,-y)=0 으로
2) y 축에 대칭 : 점은 (-x,y) 로, 도형은 f(-x,y)=0 으로
3) 원점에 대칭 : 점은 (-x,-y) 로, 도형은 f(-x,-y)=0 으로
4) 점 (a,b) 에 대칭 : 점은 (2a-x,2b-y) 로, 도형은 f(2a-x, 2b-y)=0
으로
5) y=x 에 대칭 : 점은 (y,x) 로, 도형은 f(y,x)=0 으로
6) y=-x 에 대칭 : 점은 (-y,-x) 로, 도형은 f(-y,-x)=0 으로
7) 직선 x=a 에 대칭 : 점은 (2a-x,y) 로, 도형은 f(2a-x,y)=0 으로
8) 직선 y=b 에 대칭 : 점은 (x,2b-y) 로, 도형은 f(x,2b-y)=0 으로
☞ 4 )에서 a=0, b=0 인 경우는 원점에 대한 대칭이동이 됩니다. ^^
☞ 7), 8) 에서 a=0 또는 b=0 이면 각각 y 축, x 축에 대한 대칭이동.
☞ x=a 에 대하여 대칭이동하고 y=b 에 대하여 대칭이동하면? → 점 (a,b)
에 대하여 대칭이동. ^^
2-3)의 증명
f(x,y)=0 위의 임의의 점 (x,y) 를 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 (-x,-y)
-x=X, -y=Y 라고 놓으면 x=-X, y=-Y
점 (x,y) 는 f(x,y)=0 위의 점이므로 대입하면 f(-X,-Y)=0
따라서, 점 (X,Y) 는 f(-x,-y)=0 위의 점이므로 옮겨진 도형의 방정식은 f(-x,-y)=0
^^
3. 회전이동(rotation)
그림에서와 같이 점 (x,y) 를 원점을 중심으로 시계반대방향으로 90° 회전이동하면 점 (x,y)의 좌표가 점 (-y,x) 로 되므로, 방정식이 f(x,y)=0 은 도형은 방정식이 f(y,-x)=0 인 도형이 됩니다. ^^
☞ 회전각이 90°가 아닌 일반적인 회전이동 문제는 삼각함수를 이용하여 해결합니다. ^^
♧ 정리하여 둡시다.
☞ 점 (x,y) 를 +90° 회전이동하면? → 점 (-y,x) ^^
Today's Quotation
Education is what survives when what has been learned has been forgotten. -B. F. Skinner-
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☞ 오늘 문제는 점과 도형의 이동 입니다. ^^ |
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