PROBLEMS 21.0406
점의 이동, 대칭이동, 평행이동
문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다. 21.0405 보기 Today's Study MathCounts 문제
  1. 점 A(1,2) 를 x 방향으로 -4 만큼 평행이동한 점을 B, 점 B 를 직선 y=x 에 대하여 대칭이동한 점을 C 라고 한다. 이 때 △ABC 의 넓이는?
    2. (답) 10
    1) A(1,2) 를 x→-4 만큼 평행이동한 점 B(1+(-4), 2) ∴ B(-3,2)
    2) B(-3,2)를 y=x 에 대하여 대칭이동한 점 C(2,-3)
    3) AB=4 이고 AB 를 삼각형의 밑변으로  보면 높이는 5
       ∴ 삼각형 ABC의 넓이는 10　

    점 (x,y) 를 직선 y=x 에 대하여 대칭이동하면? → 점 (y,x)


  2. 그림에서 도형 ㉠, ㉡ 은 합동인 도형이다.  ㉠ 의 방정식이 f(x,y)=0 일 때 도형 ㉡ 의 방정식은?　
    3. (답) f(-x+2,-y+1)=0
    1) f(x,y)=0 을 원점에 대칭이동하면 f(-x.-y)=0
    2) f(-x,-y)=0 을 x→2, y→1 만큼 평행이동하면 f(-(x-2),-(y-1))=0
       ∴ f(-x+2,-y+1)=0　

    ☞ f(x,y)=0 을 x→m, y→n 만큼 평행이동하면? → f(x-m.y-n)=0



  3. 포물선 y=x2 을 y 방향으로 a 만큼 평행이동 하였더니 직선 2x-y=0 과 점 (b,c) 에서 접하였다. 이 때, a+b+c 는?　
    4. (답) 4
    1) y=x2 을 y→a 만큼 평행이동하여 얻은 도형의 방정식은 y-a=x2 …㉠
    2) 2x-y=0 에서 y 를 구하면 y=2x …㉡
    3) ㉠, ㉡ 에서 y 를 소거하면 2x-a=x2, x2-2x+a=0 …㉢
    3) ㉠, ㉡ 이 서로 접하므로 방정식 ㉢ 의 근은 한 개만 존재, D/4=(-1)2-a=0 에서 a=1
    4) a=1을 ㉢ 에 대입하면 (x-1)2=0, x=1
    5) x=1을 ㉡ 에 대입하면 y=2 이므로 접점의 좌표는 (1,2)   ∴ a+b+c=4 ^^

    직선 y=mx+n 이 포물선 y=ax2+bx+c 에 접하면? → 이차방정식 mx+n=ax2+bx+c 의 실근이 한 개만 존재하므로 판별식 D=0 ^^


  4. 포물선 y=x2 을 점 P 에 대하여 대칭이동하였더니 포물선 y=-x2+4x-2 가 되었다. 이 때 점 P 의 좌표는?
    5. (답) (1,1)
    1) y=x2 의 꼭지점의 좌표는 O(0,0)
    2) y=-(x-2)2+2 의 꼭지점의 좌표는 A(2,2)
    3) 점 P 는 선분 OA 의 중점이므로 P(1,1) ^^　

    ☞ 두 포물선의 대칭의 중심 ⇔ 두 꼭지점을 잇는 선분의 중점


  5. 원 x2+y2=1을 직선 x+2y=5 에 대하여 대칭이동하여 얻은 원의 방정식은?　
    6. (답) (x-2)2+(y-4)2=1
    1) 원 x2+y2=1의 중심 O(0,0)을 x+2y=5 에 대하여 대칭이동한

     점을 C(2a,2b)라고 하면 선분 OC 의 중점 M(a,b)는
     직선 x+2y=5 위의 점 이므로 a+2b=5 …㉠

    2) 선분 OA 와 직선 x+2y=5 이 서로 수직이므로 선분 OA 와

    직선의 기울기의 곱은 -1 → b=2a …㉡

    3) ㉠, ㉡ 을 연립하면 a=1, b=2
    4) 대칭이동하여 얻은 원의 중심 C(2,4)이고 반지름은 1 이므로

    (x-2)2+(y-4)2=1 ^^

    원을 직선에 대칭이동하는 문제는? → 원의 중심을 직선에 대하여 대칭이동하는 문제로 생각합니다. ^^

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Update 2001년 04월 09일 수학선생님® 수학교육연구©