PROBLEMS 21.0401
일정한 점을 지나는 직선
문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다. 21.0331 보기 Today's Study MathCounts 문제
  1. x+y-1=0 과 x-y+2=0 의 교점을 지나고 x+2y=0 에 평행인 직선의 방정식은?
    2. (답) 2x+4y-5=0
    1) x+y-1=0 과 x-y+2=0 의 교점을 지나는 직선의 일반형 → m(x+y-1)+n(x-y+2)=0 …㉠
    2) (m+n)x+(m-n)y+(-m+2n)=0 이 x+2y=0 에 평행 → (m+n) : (m-n) = 1 : 2
    3) 2(m+n)=m-n 에서 m=-3n, ㉠ 에 대입 → -3n(x+y-1)+n(x-y+2)=0
    4) 양변을 n 으로 나누면 → -3(x+y-1)+x-y+2=0    ∴ -2x-4y+5=0 에서 2x+4y-5=0 ^^　

    ax+by+c=0, a′x+b′y+c′=0 의 교점을 지나는 직선 → m(ax+by+c)+n(a′x+b′y+c′)=0


  2. 128x+y-1=0 과 x+130y+1=0 의 교점을 지나는 직선 중에서 원점을 지나는 직선의 방정식은?　
    3. (답) 129x+131y=0
    1) 128x+y-1=0 과 x+130y+1=0 의 교점을 지나는 직선 → m(128x+y-1)+n(x+130y+1)=0
    2) (0,0)을 대입하면 -m+n=0    ∴ m=n
    3) n(128x+y-1)+n(x+130y+1)=0 ⇔ (128x+y-1)+(x+130y-1)=0    ∴ 129x+131y=0 ^^　

    ☞ 원점을 지나는 직선의 일반형 → ax+by=0



  3. a+2b=1 일 때 ax+by=1 은 일정한 점을 지난다. 이 점의 좌표는?　
    4. (답) (1,2)
    1) a=1-2b 를 ax+by=1 에 대입 → (1-2b)x+by=1 ⇔ x-1+b(y-2x)=0
    2) x-1+b(y-2x)=0 는 x-1=0 과 y-2x=0 의 교점을 지나는 직선
    3) x-1=0 과 y-2x=0 를 연립하면 x=1, y=2    ∴ 일정한 점의 좌표는 (1,2)

    ax+by=1 에서 x=1, y=2 이면 a+2b=1 이므로 a+2b=1 을 만족하는 직선 ax+by=1 는 항상 점 (1,2) 를 지납니다. ^^


  4. 직선 (a+b)x+(a-b)y+(a+b)=0 은 a, b 에 관계없이 일정한 점을 지난다. 이 점의 좌표는?　
    5. (답) (-1, 0)
    1) (a+b)x+(a-b)y+(a+b)=0 ⇔ a(x+y+1)+b(x-y+1)=0 …㉠
    2) ㉠ 은 x+y+1=0, x-y+1=0 의 교점을 지나는 직선
    3) x+y+1=0 과 x-y+1=0 을 연립하면 x=-1, y=0    ∴ (-1,0) ^^

    ☞ 직선 m(x-a)+n(y-b)=0 은 m, n 에 관계없이 항상 점 (a,b) 를 지납니다. ^^


  5. a 가 실수 값을 가지며 변할 때, 직선 (a2+1)x-ay+(a+1)2=0 이 존재하는 범위를 좌표평면 위에 그림으로 나타내시오.
    6. (풀이)

    i) a≠0 일 때, (a2+1)x+ay+(a-1)2=0 의 양변을 a 로 나누면

    (a+)x-y+a+2+=0 ⇔ y=(a+)(x+1)+2 이므로 직선은 항상 (-1,2) 를 지난다.
    또, 0 이 아닌 모든 a 에 대하여 |a+|≥2 이므로, 이 직선의 기울기의 절대값은 2 보다 작지 않다.

    ii) a=0 일 때, x+1=0, x=-1

    i), ii) 에서 직선이 존재하는 범위는 그림과 같다. ^^

    ☞ a,b 가 양수일 때, 항상 a+b≥√(ab) (등호는 a=b 일 때 성립)

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

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Update 2001년 04월 01일 수학선생님® 수학교육연구©