| Today's study point | a, b가 양수일 때, 
(등호는 a=b 일 때 성립) ^^ |
오늘은 몇 개의 중요한 절대부등식(absolute inequalities)에 대하여 생각해 보겠습니다. ^^ 주어진 집합의 원소에 대하여 항상 성립하는 부등식을 절대부등식이라고 말합니다.^^
1. 평균부등식(mean inequality) : 산술평균≥기하평균≥조화평균
1) a, b가 양수일 때, (등호는 a=b
일 때 성립)
2) a, b, c 가 양수일 때, 
(등호는 a=b=c
일 때 성립)
1-1)의 증명 
☞ 2 와 3 의 평균값 → 산술평균 
=
2.5, 기하평균 
= 2.4498…,
조화평균 
= 2.4
2. 코시-슈바르츠의 부등식(Cauchy-Schwarz inequality)
1) (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2 (등호는 a
: b = x : y 일 때 성립)
2) (a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2 (등호는 a
: b : c = x : y : z 일 때 성립)
2-1)의 증명 (a2+b2)(x2+y2)-(ax+by)2
= (a2x2+a2y2+b2x2+b2y2)-(a2x2+2abxy+x2y2)
= a2y2-2abxy+b2x2 = (ay-bx)2≥0
등호는 ay = bx ⇔ a : b = x : y 일 때 성립
3. 삼각부등식(triangle inequality) ← a, b, c 가 삼각형의 세 변이 될 조건 b~c<a<b+c
1) |a|~|b|≤|a+b|≤|a|+|b| (왼쪽 등호는 ab≤0 일 때, 오른쪽 등호는 ab≥0
일 때 성립)
2) |a+b+c|≤|a|+|b|+|c| (등호는 a, b, c가 모두 같은 부호 또는 0 일 때 성립)
3-1)의 증명
㈀ |a+b|2-(|a|~|b|)2
= (a2+2ab+b2)-(a2-2|ab|+b2) = 2(ab+|ab|)≥0
← |A|2 = A2, |A|≥-A
㈁ (|a|+|b|)2-|a+b|2 = (a2+2|ab|+b2)-(a2+2ab+b2)
= 2(|ab|-ab)≥0 ← |A|≥A
4. 여러 가지 부등식(miscellaneous inequalities)
1) a2+b2≥2ab (등호는 a=b 일 때 성립), a2+ab+b2≥0,
a2-ab+b2≥0 (등호는 a=b=0 일 때 성립)
2) a2+b2+c2≥ab+bc+ca (등호는 a=b=c 일 때 성립)
4-2)의 증명 2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)
= (a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)
= (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0
♧ 정리하여 둡시다.
a, b가 양수일
때, (등호는 a=b 일 때 성립)
Today's Quotation
Nine tenths of education is encouragement. - Anatole France -
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☞ 오늘 문제는 절대부등식 입니다. |
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