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PROBLEMS
21.0328 절대부등식 |
| 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다. | 21.0327 보기 | Today's Study | MathCounts 문제 |
- 모든 양수 a 에 대하여
≥b 가
성립하도록 하는 b 의 최대값은?
- x>1 일 때,
의 최소값을 a, 그때의 x
를 b 라 할 때 a+b 는? - 양수 a, b, c 가 a3+b3+c3=3 을 만족할 때, abc 의 최대값은?
- a, b 가 양수일 때,
의 최소값을 구하고
그 때의 a, b 사이의 관계를 구하시오. - x2+y2 = 5 일 때, |x+2y| 의 최대값을 구하고, 그 때의 순서쌍 (x,y) 를 구하시오.
(답) 2
1) 
(산술평균≥기하평균)
2)의 최소값이 2 이므로 부등식이 항상 성립하려면 b 가 2 를 넘지
않아야 합니다.^^
(산술평균≥기하평균)2)
의 최소값이 2 이므로 부등식이 항상 성립하려면 b 가 2 를 넘지
않아야 합니다.^^
☞ 양수 a, b 에 대하여 항상 a+b≥2
(등호는
a = b 일 때 성립)
(답) 8
1) 
에서 ≥5 이므로
최소값 a=5
2) 등호는
⇔ x=3 일 때 성립하므로 b=3
∴ a+b=8 ^^
에서 ≥5 이므로
최소값 a=52) 등호는
⇔ x=3 일 때 성립하므로 b=3
∴ a+b=8 ^^
☞ a>0, b>0 이고 ab 가 일정할 때, a+b 가 최소가 될 조건 → a=b ^^
(답) 1
a3+b3+c3≥3abc 에서 3≥3abc, abc≤1 이므로 abc 의
최대값은 1 ^^
☞ A, B, C가 양수일 때, 
☞ 
(답) 최소값 9, ab=1
1) 
2)
∴의 최소값은 9 이고, 이 때 ab = 1
2)
∴
의 최소값은 9 이고, 이 때 ab = 1
틀리기 쉬운 문제입니다. 반드시 식을 전개하여 평균부등식 (산술평균)≥(기하평균) 을 한 번만 적용하도록 합니다. ^^
(답) 최대값 = 5 이고 순서쌍 (x,y) 는 (1,2), (-1,-2)
1) (12+22)(x2+y2)≥(1·x+2·y)2 (등호는 x
: y = 1 : 2 일 때 성립) ← 코시의 부등식
2) 5·5≥(x+2y)2 에서 (x+2y)2≤25 ∴ |x+2y| 의 최대값은 5
3) 등호는 y = 2x 일 때 성립하므로 x2+y2 = 5 에 대입하면…
4) 5x2 = 5 에서 x = ±1 이고, 이 때 y = ±2 (복호동순) ∴ (1,2), (-1,-2) ^^
2) 5·5≥(x+2y)2 에서 (x+2y)2≤25 ∴ |x+2y| 의 최대값은 5
3) 등호는 y = 2x 일 때 성립하므로 x2+y2 = 5 에 대입하면…
4) 5x2 = 5 에서 x = ±1 이고, 이 때 y = ±2 (복호동순) ∴ (1,2), (-1,-2) ^^
☞ 코시(Cauchy)의 부등식
모든 실수 a, b, x, y 에 대하여 (a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2 (등호는 a : b = x : y 일 때 성립)
☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^