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PROBLEMS
21.0326 방정식(7) |
| 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다. | 21.0325 보기 | Today's Study | MathCounts 문제 |
- x2+xy-2y2 = 0, x2-xy+y2 = 4
를 만족하는 유리수의 순서쌍 (x,y) 를 구하시오.
- x2+xy = 2, xy-3y2 = -2 의 해를 구하시오.
- x2+x-y2 = 1, -x2-y+y2 = 1 의 해를 구하시오.
- x2+xy+y2 = 1, x2-xy+y2 = 3 의 해를 구하시오.
- x2+x-y = 1, y2+y-x = 1 의 해를 구하시오.
1) x2+xy-2y2 = 0 을 인수분해 →
(x-y)(x+2y) = 0 ⇔ x-y = 0 또는 x+2y = 0
2) x = y 일 때, x2-xy+y2 = 4 에 대입 → y2
= 4 에서 y = ±2 ∴ (2,2), (-2,-2)
3) x = -2y 일 때, x2-xy+y2 = 4 에 대입 → 7y2
= 4 에서 y = ±(2/√7) 이 무리수이므로 부적합.
모든 2원 2차 연립방정식은 1차식을 유도하여 해를
구합니다.
여기서는 x2+xy-2y2=0 을 인수분해 하여 1차식을 구했습니다.
1) x2+xy = 2 …㉠, xy-3y2 = -2 …㉡
2) ㉠+㉡ 하여 상수항을 소거 → x2+2xy-3y2 = 0 ←
인수분해 할 수 있는 꼴입니다. ^^
3) x2+2xy-3y2 = 0 ⇔ (x-y)(x+3y) = 0
㈀ x = y 일 때, ㉠ 에 대입하면 2y2 = 2, y = ±1 ∴
(1,1), (-1,-1)
㈁ x = -3y 일 때, ㉠ 에 대입하면 6y2 = 2, y = ±
∴
연립방정식의 상수항이 모두 0 이 아닌 경우, 상수항을 소거하면 인수분해꼴이 됩니다. ^^
1) x2+x-y2 = 1 …㉠, -x2-y+y2
= 1 …㉡
2) ㉠+㉡ 하여 2차항을 소거 → x-y = 2 ← 이차항을
소거하여 1차식을 유도하였습니다! ^^
3) x = y+2 를 ㉠에 대입 → (y+2)2+(y+2)-y2 = 1 ⇔
5y+6 = 1 ⇔ y = -1
4) x = y+2 에 대입하면 x = 1 ∴ (1,-1)
☞ 위에서 y = -1을 1차식 x-y = 2 에 대입하여 x 를 구합니다. ^^
1) x2+xy+y2 = 1 ⇔ (x+y)2-xy
= 1 …㉠
2) x2-xy+y2 = 3 ⇔ (x+y)2-3xy = 3
…㉡
3) x+y=a, xy=b …㉢ 라고 놓으면
4) ㉠, ㉡ → a2-b = 1, a2-3b = 3 ←
풀기 쉬운 연립방정식이 되었습니다. ^^
5) a2 을 소거하여 b 를 구하면 b = -1이고 a = 0 → ㉠에
대입하면 x+y = 0, xy = -1
6) x, y 를 두 근으로 하는 t 에 대한 2차 방정식을 만듭니다.^^
7) (t-x)(t-y) = 0 ⇔ t2-(x+y)t+xy = 0
⇔ t2-0·t-1 = 0 에서 t = ±1
8) 위에서 t 는 각각 x 와 y 이므로 (1,-1), (-1,1)
→ (t-x)(t-y) = 0 ⇔ t2-(x+y)t+xy = 0 ⇔ t2-at+b = 0 의 해를 구합니다.^^
2) ㉠-㉡ 하면 → x2-y2+2x-2y = 0 ⇔ (x2-y2)+2(x-y) = 0 ⇔ (x-y)(x+y+2) = 0
㈀ y = x 일 때, ㉠ 에 대입 → x2 = 1, x
= ±1 ∴ (1,1), (-1,-1)
㈁ y=-x-2일 때, ㉠ 에 대입 → x2+2x+1 = 0, (x+1)2 = 0, x
= -1 ∴ (-1,-1)
3) ㈀, ㈁ 에서 (1,1), (-1,-1) ^^
f(x,y) = a, f(y,x) = a 와 같이 두 식의 꼴이 같고 문자 x, y 가 바뀐 꼴을 교환형의 연립방정식이라고 합니다. 교환형은 두 식을 변끼리 빼주면 일차인수 x-y 로 인수분해 됩니다. ^^
☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^