| Today's study point | f(x) 를 x-α 로 나눌 때의 나머지 → f(α) ^^ |
오늘은 나머지정리 R = f(α) 와 인수정리 및 조립제법에 대하여 생각해 보겠습니다. 조립제법(synthetic division)은 다항식 f(x) 를 x-α 로 나눌 때의 몫과 나머지를 간편하게 구하는 방법입니다. ^^
1. 나머지정리(remainder theorem) → 다항식을 1차식으로 나눈 나머지를 구하는 방법입니다. ^^
1) f(x) 를 x-α 로 나눌 때의 나머지는 f(α)
2) f(x) 를 ax+b 로 나눌 때의 나머지는
예) x2+2x+3 을 x-1 로 나눌 때의 나머지 → 12+2.1+3
= 6 ☞ x-1 = 0 에서 나온 x = 1을 대입합니다.^^
예) x2+2x+3 을 2x+1 로 나눌 때의 나머지 → 
1) 의 증명
f(x) 를 x-α 로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R 이라고 하면 f(x) = (x-α)Q(x)+R
… ㉠
㉠ 에 x = α 를 대입하면 f(α) = (α-α)Q(α)+R ⇔ f(α) = 0.Q(α)+R ∴
나머지 R = f(α)
☞ ㉠ 의 우변을 전개하면 좌변≡우변 이므로 ㉠ 은 항등식.
☞ 항등식은 문자에 어떤 값을 대입해도 등호가 성립합니다.^^
2. 인수정리(factor theorem) → 다항식의 1차인수 x-α 또는 ax+b 를 찾는 방법입니다.^^
1) f(α) = 0 이면 x-α 는 f(x) 의 인수 → f(x) = (x-α)Q(x)
⇔ f(α) = 0
2) f(-b/a) = 0 이면 ax+b 는 f(x) 의 인수 → f(x) = (ax+b)Q(x) ⇔
f(-b/a)=0
예) f(x) = x3-8 에서 f(2) =23-8 = 0 이므로 x-2 는 x3-8의
인수 → x3-8 = (x-2)(x2+2x+4)
예) f(x) = 2x2+x-1 에서 f(1/2) = 2(1/2)2+(1/2)-1 = (1/2)+(1/2)-1 = 0 이므로 →
2x2+x-1 = (2x-1)(x+1)
3. 조립제법(synthetic division) → 다항식을 x-α 로 나누어 몫과 나머지를 구하는 간편한 방법!
예) x3+2x2-4x-6을 x-2 로 나눌 때 몫과 나머지를 구하려면 …
← 조립제법은 x-α
로 나눌 때만 적용됩니다.
x3+2x2-4x-6 = (x-2)(x2+4x+4)+2 ⇔ 
→ 몫 x2+4x+4, 나머지 2
☞ f(x) 를 ax+b 로 나눌 때의 몫은 x+(b/a) 로 나눈 몫의 1/a 배가 됩니다. ^^
1) A = BQ+R → B 로 나눈
몫은 Q, 나머지는 R
2) A = kB·
Q+R → kB
로 나눈 몫은 Q, 나머지는 R
♧ 정리하여 둡시다.
☞ f(x) 를 x-α 로 나눌 때의 나머지 → f(α)
Today's Quotation
To strive with difficulties, and to conquer them, is the highest human felicity. -Samuel Johnson -
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☞ 오늘 문제는 수와 식 (4) 입니다. |
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