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PROBLEMS
21.0312 수와 식 (4) |
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- f(0) = 6, f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) = 0 을 만족하는 x 의 삼차 다항식 f(x) 를 x+1 로
나눌 때의 나머지를 구하시오.
- x 의 다항식 f(x) 를 x-1, x+2 로 나눈 나머지가 각각 4, -5 일 때, f(x) 를 (x-1)(x+2) 로 나눈 나머지를 구하시오.
- x 의 다항식 f(x) 를 (x+1)(x-1) 로 나눈 나머지가 x+2, (x-1)(x-2)
로 나눈 나머지가 4x-1 일 때,
f(x)를 (x+1)(x-1)(x-2) 로 나눈 나머지를 구하시오. - x3+x2+x+1 = (x-1)3+a(x-1)2+b(x-1)+c 가 x 에 대한 항등식이 되도록 상수 a, b, c를 정하시오.
- 다항식 f(x) 를 (x-1)2 으로 나누면 3 이 남고 x-3 으로 나누면 11 이 남는다. f(x) 를 (x-1)2(x-3) 으로 나눌 때의 나머지를 구하시오.
1) f(x) = a(x-1)(x-2)(x-3) 에서 f(0) = -6a = 6 ∴ a = -1
2) f(x) = -(x-1)(x-2)(x-3) 을 x+1 로 나눈 나머지는 f(-1) = -(-2)(-3)(-4) = 24
☞ x-a 로 나누면 b 가 남는 다항식 → f(x) = (x-a)Q(x)+b
1) f(x) = (x-1)(x+2)Q(x)+ax+b 라고 놓으면 ←
2차식으로 나눌 때의 나머지는 1차 이하의 식.
2) f(1) = 4 → a+b = 4 … ㉠
3) f(-2) = 5 → -2a+b = -5 … ㉡
4) ㉠, ㉡ 을 연립하면 a = 3, b = 1 ^^
☞ f(x) 를 x-a 로 나눈 나머지가 b → f(a) = b
1)
f(x) = (x+1)(x-1)(x-2)Q(x)+a(x+1)(x-1)+x+2
… ㉠ ← (x+1)(x-1) 로
나눈 나머지가 x+2
2) f(x) = (x-1)(x-2)P(x)+4x-1 에서 f(2) =
7 ← (x-1)(x+2)
로 나누면 나머지가 4x-1
3) ㉠ 에 x = 2 를 대입하면 f(2) = a.3.1+4
= 7 에서 a = 1
4) a = 1 을 ㉠ 에 대입 → 나머지는
(x+1)(x-1)+x+2 = x2+x+1
^^
☞ f(x) = (x-a)(x-b)Q(x)+c(x-a)+d 를 x-a 로 나눌 때의 나머지 → d
1) 주어진 등식이 x 에 대한 항등식이므로 모든 x 에 대하여 등호가 성립
2) x = 1을 대입 → c = 4
3) x = 0 을 대입 → 1 = -1+a-b+c, a-b = -2 … ㉠
4) x = 2 를 대입 → 15 = 1+a+b+c, a+b = 10 … ㉡ 이고 ㉠, ㉡ 을 연립하면 a = 4, b = 6 ^^
☞ 항등식 → 좌변과 우변이 동일한 식, 모든 문자에 대하여 등호가 성립. ^^
1) f(x) = (x-1)2(x-3)Q(x)+a(x-1)2+3
… ㉠ ← (x-1)2 으로 나누면 3
이 남는 식
2) 조건에서 f(3) =11 ← f(x) 를 x-3 으로 나눈 나머지는 11 ←
나머지정리
3) ㉠ 에 x = 3 을 대입하면 f(3) = 4a+3 이고 f(3) = 11 이므로 4a+3 = 11 에서 a = 2
4) (x-1)2(x-3) 으로 나눌 때의 나머지는 2(x-1)2+3 = 2x2-4x+5 ^^
☞ f(x) = (x-1)2(x-3)Q(x)+a(x-1)2+3 를 (x-1)2(x-3) 으로 나눈 나머지 → a(x-1)2+3 ^^
☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^