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PROBLEMS
21.0307 수체계 (3) |
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와 -에
대응하는 점을 수직선 위에 나타내시오.
- 는
유리수가 아님을 증명하시오.
- 집합 S = {a+bi| a, b는 정수, i2 = -1} 는 곱셈연산에 대하여 닫혀있음을 증명하시오.
- 다음은 실수의 대소관계에 대한 기본성질이다.
1) 임의의 실수 a 에 대하여 a > 0, a = 0, a < 0 중의 하나만 성립한다.
2) a > 0 ⇔ -a < 0
3) a > 0, b > 0 ⇒ a+b > 0, ab > 0위의 성질을 이용하여 a < 0, b < 0 이면 a+b < 0 이고 ab > 0 임을 증명하시오.
- 실수의 기본성질을 써서 a≠0 이면 a2 > 0 임을 증명하시오.
(풀이)
1) 수직선 위에 한 점 O 를 잡고 점 O 를 0 에 대응시킨다.
2) O 의 오른쪽에 임의로 한 점을 잡고 이 점을 1 에 대응시킨다.
3) 선분 OA 를 한 변으로 하는 정사각형을 그린다.
4) O 를 중심으로 하고 선분 OA′ 을 반지름으로 하는 원을 그린다.
5) 원과 수직선이 만난 두 점 중에서 …
왼쪽의 점이 -,
오른쪽의 점이 ^^
1) {유리수}∪{무리수} = {실수}
2) 실수는 수직선 위의 점과 1 : 1 로 대응
1) 가
유리수라고 하면, 서로소인 양의 정수 a, b 에 대하여 
라고
나타낼 수 있다.
2) a = b의 양변을
제곱하면 a2 = 2b2 …㉠ 이다. a2 이 2 의 배수이므로 a 도 2 의 배수
4) a = 2m 이라고 놓고 ㉠ 에 대입하면 b2 = 2m2 이다. 마찬가지로 생각하여 b 는 2 의 배수
∴ a, b 가 모두 2 의 배수이므로 a, b 는 서로소라는 가정에 모순.
따라서 는 유리수가 아님.
증명 끝.
1) 유리수 → 분모 분자가 정수인 분수로
나타낼 수 있는 수
2) {실수} = {유리수}∪{무리수} → 유리수가 아닌 실수 ⇔
무리수
2) (a+bi)×(c+di) = ac+adi+bci+bdi2 = (ac-bd)+(ad+bc)i ← i2 = -1
3) 정수집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 대하여 닫혀 있으므로 ac-bd, ad+bc는 정수
∴ (ac-bd)+(ad+bc)i∈S 이므로 집합 S 는 곱셈에 대하여 닫혀있다. 증명 끝. ^^
☞ a,b∈S 이면 항상 a*b∈S 이 성립 → 집합 S 는 연산 * 에 대하여 닫혀있음.(closed)
ii) -(a+b)>0 ⇔ a+b<0 …㉠ ← 성질 2)
iii) (-a)(-b) = (-1)(-1)ab = ab>0 …㉡ ← 교환법칙, 결합법칙, (-1)a = -a
∴ ㉠, ㉡ 에서 a < 0, b < 0 이면 a+b < 0 이고 ab > 0 증명 끝. ^^
☞ {실수} = {음수}∪{0}∪{양수}
i) a > 0 이면 a×a > 0 이므로 a2 > 0 ← 성질 3)
ii) a < 0 이면 -a > 0 이므로 (-a)×(-a) > 0 ∴ a2>0 ←
성질 3)
i), ii) 에 의해서 a≠0 이면 a2 > 0 증명 끝. ^^
☞ a 가 실수 ⇔ a>0 또는 a=0 또는 a<0 ⇔ a2≥0
☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^