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PROBLEMS
21.0302 집합과 명제 (2) |
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오른쪽
그림에서 AC∪BC 를 구하시오.- 집합의 연산법칙을 써서 (A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A) = (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) 이 성립함을
증명하시오.
- A∩BC = φ 이면 A⊂B 임을 증명하시오.
오른쪽
그림의 어두운 부분을 A, B, C 로 나타내시오.- n(U) = 10, n(A) = 5, n(B) = 7 일 때, A∩B 의 가능한 원소의 개수를 모두 구하시오.
1) De Morgan 의 법칙 → AC∪BC
= (A∩B)C = U-(A∩B)
2) U-(A∩B) = {1,2,3,4,5}-{2} = {1,3,4,5}
1) AC = U-A, A∩BC = A-B
2) (A∩B)C = AC∪BC, (A∪B)C = AC∩BC
(A∩B)∪(B∩C)∪(C∩A) = {(A∩B)∪(B∩C)}∪(C∩A) ← B 로 묶어냅니다. ^^
= {B∩(A∪C)}∪(C∩A) ←
분배법칙
= {B∪(C∩A)}∩{(A∪C)∪(C∩A)} ←
(A∪C)∪(C∩A) = A∪C
= {(B∪C)∩(B∪A)}∩(A∪C) ← 결합법칙
= (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) ^^
1) 분배법칙 → A∪(B∩C) =
(A∪B)∩(A∪C), A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)
2) 결합법칙 → A∪(B∪C) = (A∪B)∪C, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C
3) 포함관계가 있는 집합의 계산 → A⊂B ⇔
A∪B = A, A∩B = B, A-B = φ
(증명)
1) A = (A∩B)∪(A∩BC) = (A∩B)∪φ = A∩B → A = A∩B …㉠
2) (A∩B)⊂B …㉡
3) ㉠ ㉡ 에서 A = (A∩B)⊂B ∴ A⊂B ^^
☞ 위의 벤 다이어그램에서 (A∩B)∪(A∩BC) = A ^^
그림을 보고 답을 낼 수 있으면 됩니다. ^^
참고로 … {A∩(B∪C)}-(B∩C) = {A∩(B∪C)}∩(B∩C)C
= A∩{(B∪C)∩(B∩C)C}
= A∩{(B∪C)-(B∩C)}
= A∩{(B-C)∪(C-B)} 입니다. ^^
☞ (A∪B)-(A∩B) = (A-B)∪(B-A) → 대칭차집합 이라고 합니다. ^^
그림을
그려 답을 낼 수 있으면 됩니다.참고로 … 다음과 같이 생각할 수도 있습니다. ^^
1) (A∩B)⊂A 이므로 n(A∩B)≤n(A)
∴ n(A∩B)≤5 …㉠
2) (A∪B)⊂U 이므로 n(A∪B)≤n(U)
n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)
10≥ 5+7-n(A∩B) 에서 n(A∩B)≤ 2 …㉡
3) ㉠, ㉡ 에서 2≤ n(A∩B) ≤5 ∴ A∩B 의 원소의 개수는 2,3,4,5 ^^
☞ n(A)+n(B) = n(A∪B)+n(A∩B)
☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 항목을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^