PROBLEMS 20.0530 출제된 문제: 함수 (3)

1. X={1,2,3,4} 일 때, 함수 f : X → X 를 다음과 같이 정의한다.
   
    함수 g : X → X 가 g(1)=3 를 만족하고 fg=gf 가 성립할 때, 다음 중 옳은 것은? ['실험평가]
   
   

   ① g(2)=4, g(3)=2	② g(2)=4, g(3)=1	③ g(2)=1, g(3)=2
   ④ g(2)=1, g(3)=4	⑤ g(2)=2, g(3)=4

(답) ②

1) (fg)(1)=(gf)(1) ⇔ f(3)=g(2)    ∴ g(2)=4
2) (fg)(2)=(gf)(2) ⇔ f(4)=g(3)    ∴ g(3)=1

☞ (gf)(x)=g(f(x))




2. 모든 실수 x에 대하여 정의된 함수 f(x)=[x]+[-x] 의 치역은? (단, [x]는 x를 넘지 않는 최대 정수이다.) ['99]
   
   

   ① {0}	② {0, 1, -1]	③ {1,-1}
   ④ {0, 1}	⑤ {0, -1}

(답) ⑤

1) x가 정수일 때, [x]+[-x]=0 ← 예) [3]=3, [-3]=-3
2) x가 정수가 아닐 때, n<x<n+1 이라고 하면 -n-1<-x<-n 이므로
   [x]=n, [-x]=-n-1     ∴ [x]+[-x]=-1

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3. 두 함수 에 대하여 함수 h(x)가 f(h(x))=g(x) 를 만족시킨다. 이 때, h(2)의 값은? ['90]
   
   

   ①

   ② -

   ③ 2

   ④

   ⑤ -

(답) ⑤

1) f(h(2))=g(2) ⇔ f(h(2))=3 ⇔
2) h(2)-1=3h(2)+6 에서 -2h(2)=7    ∴ h(2)=-




4. 1 보다 큰 실수 전체의 집합 A 에서 A 로의 함수
   에 대하여 (f(gf)^-1f)(3) 의 값은? ((gf)^-1은 합성함수 gf 의 역함수.) ['83]
   
   

   ①

   ②

   ③

   ④

   ⑤

(답) ②

1) (f(gf)^-1f)=f(f^-1g^-1)f=(ff^-1)gf^-1 ← (gf)^-1=f^-1g^-1
2) (ff^-1)gf^-1=Igf^-1=gf^-1 ← I 는 항등함수
3) (f(gf)^-1f)(3)=(g^-1f)(3) 이고 f(3)=2
4) (g^-1f)(3)=g^-1(2)
g^-1(2)=a 라고 하면 g(a)=2 ⇔     ∴ a=

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5. 다음 그림은 함수 y=f(x) 의 그래프이다. x 에 대한 방정식 f(f(x+2))=4 의 서로 다른 실근의 개수와 합을 차례로 쓴 것은? (단, x<2 또는 x>19 일 때 f(x)<0 이다.) ['95]
   
   

   ① 2, 20

   ② 2, 22

   ③ 3, 30

   ④ 4, 42

   ⑤ 4, 50

(답) ①

1) f(a)=4 일 때 a=6, 11, 15, 17
2) f(x+2)=6 ← f(x+2)≤6

f(x+2)=6 에서 x+2=8 또는 16    ∴ x=6 또는 14

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©