PROBLEMS 20.0529 출제된 문제: 함수 (2)

1. 함수 f(x)=2x+6, g(x)=ax-1 에 대하여 fg=gf 일 때, a 의 값은? ['실험평가]
   
   

   ①

   ②

   ③ 1

   ④ 2

   ⑤ 6

(답) ②

1) (fg)(x)=f(g(x))=2g(x)+6=2(ax-1)+6=2ax+4
2) (gf)(x)=g(f(x))=af(x)-1=a(2x+6)-1=2ax+(6a-1)

4=6a-1 에서 a=




2. <보기>의 함수 f(x) 중 (fff)(x)=f(x) 가 성립하는 것을 모두 고른 것은? ['2000]
   
   

   <보기> ㄱ. f(x) = x+1 ㄴ. f(x) = -x ㄷ. f(x) = -x+1

   
   

   ① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
   ④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

(답) ⑤

ㄱ → (fff)(x)=x+3
ㄴ → (ff)(x)=x, (fff)(x)=-x
ㄷ → (ff)(x)=-(-x+1)=x-1, (fff)(x)=-(x-1)=-x+1





3. 두 함수 에 대하여, (fg)(a)=a 를 만족시키는 실수 a 의 개수는? ['92]
   
   

   ① 0 개	② 1개	③ 2 개
   ④ 3 개	⑤ 무한히 많다.

(답) ②

1) (fg)(a)=a ⇔ 의 양변에 g(a)를 곱하면
2) g(a)-1=ag(a) (g(a)≠0) ⇔ (a≠0) 의 양변에 a-1을 곱하면

a-(a-1)=a² (a≠1)⇔ a²=1 (a≠1) ⇔ a=-1 ← ^^




4. x+y=3, x≥0, y≥0 일 때, 2x²+y² 의 최대값을 M, 최소값을 m 이라 할 때, M-m은? ['84]
   
   

   ① 12

   ② 14

   ③ 16

   ④ 18

   ⑤ 20

(답) ①

1) y=3-x 를 2x²+y² 에 대입하면 2x²+(3-x)²=3x²-6x+9
2) y=3-x, x≥0, y≥0 에서 0≤x≤3

f(x)=3x²-6x+9 (0≤x≤3) 의 최대, 최소값을 구하면 됩니다.^^

f(x)=3(x-1)²+6 에서
최소값은 f(1)=6, 최대값은 f(3)=18    ∴ M-m=12

☞ x-1의 절대값이 최대 또는 최소일 때 (x-1)² 은 최대, 최소가 됩니다.^^




5. 함수 f(x)=4x²-4x+1 (0≤x≤1) 에 대하여, y=f(x) 와 y=f(f(x)) 의 그래프의 개형은 각각 다음과 같다.
   
   이 때 집합 {x| f(f(f(x)))=x, 0≤x≤1} 의 원소의 개수는? ['94]
   
   
   

   ① 16

   ② 12

   ③ 8

   ④ 6

   ⑤ 5

(답) ③

f(f(x))=y 라고 놓으면 f(y)=x (0≤y≤1) 이므로

1)  f(f(f(x)))=x 의 해 ⇔ y=f(f(x)), x=f(y)의 교점의 x 좌표
2) x=f(y) 는 y=f(x) 와 y=x에 대하여 대칭 → (그림1)
 
(그림2) 에서 y=f(f(x))와 x=f(y) 의 교점은 8 개 존재하므로 f(f(f(x)))=x 의 해는 8 개 존재^^

☞ 관련사항을 참조하세요.^^

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 확인을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^

update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©