PROBLEMS 20.0527 출제된 문제: 도형의 방정식 (7)

1. 세 개의 부등식 x²+y²≤1, y≥-2x+1, y≥0 을 동시에 만족시키는 x, y 에 대하여 x+2y 의 최대값을 M, 최소값을 m 이라 할 때, M-m 의 값은? ['92]
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ③

1) x+2y=k 라고 놓으면
2) x+2y=k 가 원에 접할 때 k 는 최대
3) x+2y=k 가 을 지날 때 k 는 최소
(0,0) 에서 x+2y-k=0 까지의 거리





2. 좌표 평면 위의 네 점 A(0,0), B(4,0), C(4,5), D(0,5) 가 주어져 있다. PA+PB+PC+PD 를 최소로 하는 점 P 의 좌표는? ['실험평가]
   
   

   ① (2,)	② (2,0)	③ (0,)
   ④ (4,0)	⑤ (0,5)

(답) ①

PA+PB+PC+PD=(PA+PC)+(PB+PD) 에서

P가 AC 위에 있을 때 PA+PC 는 최소.
P가 BD 위에 있을 때 PB+PD 는 최소.

∴ 점 P가 AC, BD의 교점에 있을 때 PA+PB+PC+PD 는 최소




3. 부등식 (x²-4y²)(x²-6x+y²+8)≤0 의 영역을 좌표평면 위에 검게 나타내면? (단, 검은 부분의 경계선은 포함한다.) ['96]
   
   

   ①	②	③
   ④	⑤

(답) ②

1) 영역의 경계선은 x²-4y²=0 ⇔ (x+2y)(x-2y)=0 …①, (x-3)²+y²=1 …②
2) ② 의 중심 (3,0) 과 x+2y=0, x-2y=0 사이의 거리
3) d>r 이므로 원과 직선은 만나지 않는다.
4) (3,0)을 (x²-4y²)(x²-6x+y²+8)≤0 에 대입하면 부등식이 성립.

원의 중심 (3,0) 이 영역에 속하는 점이므로 정답은 ② 입니다.^^

☞ 관련사항을 참조하세요!^^




4. 좌표 평면 위의 세 점 A(0,2), B(-1,0), C(1,0)으로 이루어지는 △ABC 의 내부 또는 변 위의 점 P 에서 변 AB, BC, CA 까지의 거리를 각각 a, b, c 라고 하자. 4b=5(a+c)² 일 때, 점 P의 자취는? ['96]
   
   

   ① 한 점	② x 축에 평행한 선분
   ③ y축에 평행한 선분	④ 포물선의 일부인 곡선
   ⑤ 원의 일부인 곡선

(답) ②

1) AB의 방정식 → y=2x+2 ⇔ 2x-y+2=0
2) AC의 방정식 → y=-2x+2 ⇔ 2x+y-2=0

P(x,y) 라고 하면
P는 삼각형 ABC의 경계선을 포함한 내부의 점이므로
2x-y+2≥0, 2x+y-2≤0, y≥0

, 이고 b=y
4b=5(a+c)² 에 대입하면 ⇔ 4y=4y²-16y+16
4y²-20y+16=0 ⇔ y²-5y+4=0 ⇔ (y-1)(y-4)=0 ⇔ y=1 또는 y=4
P(x,y)는 삼각형의 경계선을 포함한 내부의 점이므로 y=1





5. 좌표평면에서 각 좌표축에 평행하지 않은 직선 l 이 있다. l 밖의 한 점 P(x₁,y₁) 에서 l 에 내린 수선의 발을 H(x₂,y₂) 라 할 때, 선분 PH의 길이를 구하는 과정은 다음과 같다.
   
   

   직선 l 의 방정식을 ax+by+c=0 … ⑴ 이라 하면 가정에서 a≠0 이고 b≠0 이다. l 의 기울기가 이므로 직선 PH 의 방정식은 y-y1=… ⑵ 이다. ⑴과 ⑵를 이용하면 , 이다. 따라서 구하는 선분 PH 의 길이는 이다.

   
   위의 과정에서 (가), (나) 에 알맞은 것을 순서대로 적으면? ['98]
   
   

   ① (x-x1), |x2-x1|+|y2-y1|	② (x-x1), (x2-x1)2+(y2-y1)2
   ③ -(x-x1),	④ (x-x1),
   ⑤ -(x-x1), |x2-x1|+|y2-y1|

(답) ④

1) PH의 방정식은 y-y₁=(x-x₁) ← PH⊥ l      ☞ 수직조건 mm'=-1
2) PH²=(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²=
∴

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©