도형의 방정식 (5), 출제된 문제

PROBLEMS 20.0525
출제된 문제: 도형의 방정식 (5)

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MathCounts 문제

좌표평면에서 원 (x-1)²+(y-1)²=10 과 y 축이 만나는 두 교점 사이의 거리는? ['99]

① 2 ② 4 ③ 6 ④ 8 ⑤ 10

(답) ③

1) y축 위의 모든 점의 x좌표는 x=0 ← y 축의 방정식입니다.^^
2) x=0 과 (x-1)²+(y-1)²=10 를 연립하면 (-1)²+(y-1)²=10
3) (y-1)²=9 ⇔ y-1=±3 ⇔ y=4 또는 y=-2

∴ 교점의 좌표는 A(0,4), B(0,-2) 이므로 AB=6

두 원 x²+y²=1, x²+(y-2)²=4 의 공통접선의 방정식을 y=ax+b 라고 할 때, a²+b² 의 값은? ['89]

① 4 ② 5 ③ 6 ④ 7 ⑤ 8

(답) ④

그림에서 기울기 a=, y 절편 b=-2 ∴ a²+b²=3+4=7 ^^ → 관련사항을 참조하세요! ^^
☞ 기울기 m=tanθ ← θ는 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각

좌표평면에서 세 부등식 3x+4y-16<0, 3x-4y+10>0, y>0 을 동시에 만족하는 영역에 속하는 점 중에서 이 영역의 경계를 이루는 세 선분과의 거리가 모두 자연수인 점의 개수는? ['94]

① 0 ② 1 ③ 3 ④ 5 ⑤ 7

(답) ② → 그림참조^^

1) 영역 내부의 한 점을 (a,b)라고 하면 b=1,2,3
2) ← 3a-4b+10>0
3) ← 3a+4b-16<0
4) d₁, d₂는 자연수이므로 d₁+d₂ 도 자연수 ← 풀이의 point!

에서 b=2 일 때만 d₁+d₂ 는 자연수 2가 된다.
∴ d₁=d₂=1 이 되어야 하고 그 때 a=1 이므로 조건을 만족하는 점은 (1,2) 한 개 뿐입니다.^^

☞ 필요조건을 써서 얻은 결과 (1,2)가 조건을 만족하는지 확인해야 합니다.^^

반지름이 30 인 구 위의 한 점 N 에 길이가 5π 인 실을 팽팽하게 유지하면서 구의 표면을 따라 실의 나머지 한 끝을 한 바퀴 돌렸을 때, 구의 표면에 생기는 실의 자취의 길이를 l 이라 하자. 의 값을 구하시오. ['99, 주관식]

(답) 30

1) 호 NP의 길이 5π는 원둘레 60π 의 12 분의 1 이므로 ∠NOP=30°
2) OP=30, PQ=15 ← ∠POQ=30°
3) PQ를 반지름으로 하는 원의 둘레의 길이 l=30π

제품 원료(kg) 전력량(kwh)

A 1 2

B 2 1

어느 공장에서 제품 A, B를 각각 1개씩 만드는 데 필요한 원료(kg)와 전력량(kwh)은 오른쪽 표와 같다. 사용할 수 있는 원료의 양은40kg 이고 전력량은 총 60kwh 를 초과하여 쓸 수 없다. 제품 A, B를 1개씩 만들어 팔 때의 이익은 각각 4만원, 3만원이다. 이 공장에서 제품 A, B를 여러개 만들어 이를 팔아 얻을 수 있는 최대 이익은? (단, 완제품만 판매한다.) ['97]

① 122 만 원 ② 124 만 원 ③ 126 만 원

④ 128 만 원 ⑤ 136 만 원

(답) ③

제품 A를 x개, B를 y 개 생산한다고 하면

1) x+2y≤40 ← 사용한 원료의 양 (kg)
2) 2x+y≤60 ← 소비한 전력량 (kwh)
3) 4x+3y ← 이익금 (만원)

4x+3y=k 라고 놓고 k의 최대값을 구하면 됩니다.^^

x=26 일 때, y의 최대값은 7 → 4x+3y=125 (만원)
x=27일 때, y의 최대값은 6 → 4x+3y=126 (만원)

☞ 검색할 때, shift 키를 누르시고 확인을 누르시면 현재화면을 빠져 나가실 수 있습니다.^^