PROBLEMS 20.0522 출제된 문제: 도형의 방정식 (2)

1. 직선 y=x 에 대하여 대칭인 두 직선 y=ax, y=bx 가 이루는 각이 30° 일 때, 3(a²+b²)의 값을 구하시오. ['2000, 주관식]

(답) 10 →  그림참조 ^^

1) y=x 가 x축의 양의 방향과 이루는 각 → 45°
2) tan30°=, tan60°=

☞ 기울기 m=tanθ ← θ는 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각.





2. 좌표 평면에서 두 집합 A={(x,y)| (x+y-1)(x-y-1)=0}, B={(x,y)| x²-y²=0} 의 교집합 A∩B 에 속해 있는 원소의 개수는? ['실험평가]
   
   

   ① 무한히 많다.	② 0	③ 4
   ④ 2	⑤ 1

(답) ④

1) 집합 A → 두 직선 x+y-1=0, x-y-1=0
2) 집합 B → 두 직선 x+y=0, x-y=0

그림에서




3. 다음 중에서 직선 3x+4y+1=0 에 수직이고 원점으로부터의 거리가 1인 직선 위에 있는 점은? ['83]
   
   

   ①

   ②

   ③

   ④

   ⑤ (0,1)

(답) ①

1) 3x+4y+1=0 에 수직인 직선 → 4x-3y+c=0
2) (0,0)에서 4x-3y+c=0 까지의 거리 →
∴ 직선의 방정식은 4x-3y±5=0

☞ ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0 이 직교할 조건 → aa'+bb'=0
☞ 점 (x₁,y₁)에서 직선 ax+by+c=0 까지의 거리 → 




4. 포물선 x=y²+1 위의 점 (a,b)와 직선 x-y+1=0 사이의 거리가 최소가 될 때, a+b의 값은? ['88]
   
   

   ①

   ②

   ③

   ④

   ⑤

   　

(답) ①

1) 점 (a,b) 와 직선 x-y+1=0 사이의 거리
2) d 가 최소가 되려면 |a-b+1| 이 최소가 되어야 …
3) (a,b) 가 x=y²+1 위의 점 이므로 a=b²+1
4) |a-b+1|=|(b²+1)-b+1|=b²-b+2|=b²-b+2
5) b=일 때 b²-b+2 는 최소이고 이 때 a=




5. 오른쪽 그림에서 사각형 ABCD 는 원에 내접하고 두 대각선 AC 와 BD 는 점 P 에서 만나며 서로 수직이다. 또, 점 P 에서 변 BC 에 내린 수선의 발을 E 라고 하고, 직선 PE 와 변 AD 가 만나는 점을 F 라고 하자. 다음 중 여기에서 증명될 수 없는 것은 ? ['97]
   
   

   ① ∠CBP=∠PAD	② ∠APF=∠PAF	③ ∠FPD=∠FDP
   ④ AF=FD	⑤ AP=AF

(답) ⑤

1) ∠CBP=∠PAD ← 호 CD에 대한 원주각
2) ∠APF=∠PAF, ∠FPD=∠FDP  →  그림참조 ^^
3) AF=FD ← △APF, △FPD는 이등변 삼각형

☞ 관련사항을 참조하세요! ^^

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update 2000년 11월 12일 수학선생님^® 수학교육연구^©